Por qué no una simple significa dar la posición de un centroide de un polígono?

Question

Yo estaba teniendo un vistazo a esta pregunta ASÍ.

Por lo que sé, el centroide es el centro de masa de un objeto. así que, por definición, su posición está dada por un promedio simple de las posiciones de todos los puntos en el objeto.

Por un polígono, que sólo tiene una masa en los vértices. Así, el centro de gravedad debe estar dada por la media aritmética de las coordenadas de los vértices.

Pero Wikipedia dice centroide está dada por

donde a es

Por qué no una simple media aritmética de trabajo?

Answer 1

El centroide de un polígono es, de hecho, su centro de masa, pero la masa de un polígono es distribuida uniformemente sobre su superficie, no sólo en los vértices. Tienes razón que si la masa se divide equitativamente entre los vértices solo, el centro de gravedad sería la media aritmética de las coordenadas de los vértices.

Se da la circunstancia de que ambas definiciones son equivalentes (masa distribuida uniformemente sobre la superficie vs masa en los vértices) para las formas simples como triángulos y rectángulos.

Answer 2

Laurent es el derecho, un polígono no es sólo los vértices, pero el conjunto de la región. La media aritmética de los vértices daría el centroide si el (la igualdad) las masas se concentran en los vértices. Mientras que contesta a tu pregunta, tal vez para el futuro, el siguiente puede ser útil.

En el caso de una masa distribuida a través de una región (no sólo de un polígono), Verde del Teorema puede ser útil para calcular el área y el centroide:

En su caso,

Si $\displaystyle D$ es la región del polígono, entonces la coordenada x del centro de masa está dado por el área del polígono veces

$\displaystyle \iint_{D} x dxdy$ que por el Verde del teorema es la misma que la

$\displaystyle \oint_{C} \frac{x^2}{2} dy$, donde la integral de línea es el perímetro del polígono.

Para centroide elegimos $\displaystyle M(x,y) = \frac{x^2}{2}$ $\displaystyle L(x,y) = 0$

El área del polígono es dada por

$\displaystyle \iint_{D} 1 dxdy$ e se puede escribir como una integral de línea.

Para el área elegimos $\displaystyle M(x,y) = \frac{x}{2}$ $\displaystyle L(x,y) = \frac{-y}{2}$