La solución de la ecuación diferencial $x x''(t)=\frac{1}{t^3-t}$

Question

Resolver la siguiente ecuación diferencial $$x x''(t)=\frac{1}{t^3-t}$$ Traté de integrar ambos miembros: $$x(t) x'(t)-\int [x'(t)]^2 dt=\frac{1}{t}+\log\left|\frac{1}{t}-1\right|$$ pero la situación no mejora. En este punto, creo que hay un error en el texto de ejercicio.

Agradecería un poco de ayuda con este problema.

Muchas gracias.

Answer 1

Como se indicó en los comentarios, Mathematica no dar una forma cerrada para la solución. Aún así, hay algunos datos que podemos encontrar de todos modos.

Para $t\gg1$ hemos $$\frac{1}{t^3-t}\approx\frac{1}{t^3},$$ así que asintóticamente una solución de $x(t)$ va a satisfacer $$x(t)x''(t) = \frac{1}{t^3}.$$ Podemos encontrar una solución de este, asumiendo $x_{t\gg1}(t)=\beta t^\alpha$ algunos $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$, luego $$x(t)x''(t) = \beta^2\alpha(\alpha-1)t^\alpha t^{\alpha-2}.$$ De ello se desprende que $2\alpha - 2 = -3$, y por lo tanto $\alpha = -\tfrac{1}{2}$, e $\beta^2\frac{3}{4} = 1$, por lo que $$x(t) = \pm\frac{\sqrt{3t}}{2}$$ para $t\gg1$. Tal vez algo más puede derivarse de trabajo en las perturbaciones de este asintótico de la solución, pero no estoy seguro.

También sería interesante para obtener algunas soluciones para $0<t<1$.