¿Por qué es $\pi_* MU$ concentrado, incluso en grados?

Question

$\pi_* MU$, que es el cobordism anillo de colectores con una estructura compleja en el establo normal bundle, es un polinomio anillo de $\mathbb{Z}[x_2, x_4, \dots]$. Probablemente estoy siendo tonta aquí, pero hay una razón obvia por la que todo está aún en grados? Es obvio que una extraña dimensiones del colector cuya normal en su conjunto, en algunos involucración presenta una estructura compleja, es cobordant a cero? (Para el caso, es obvio que un colector unorientedly cobordant a cero?)

Answer 1

No creo que sea resultado es "evidente" geométricamente. Como Grigory dice, de alguna manera es moralmente cierto. Aquí es lo que yo entiendo de esta parte de la historia:

1. Usted puede probar directamente desde Thom del isomorfismo entre el complejo cobordism y $\pi_*MU$ junto con algunos Serre mod C cosas que $MU_* \otimes \mathbb{Q}$ se concentra en incluso grados (incluso se puede obtener de la estructura multiplicativa con bastante facilidad). Como consecuencia de que uno se de que cada impar-dimensional complejo colector se convierte en nulo bordant (en el sentido complejo) después de tomar distintos sindicatos suficientes veces. Es allí una manera de hacer esto geométricamente? Me encantaría verlo!
2. Si desea una casi puramente geométrica prueba de que el extraño partes se desvanecen, ver Quillen del papel "de la Primaria las pruebas de algunos de los resultados de cobordism usando teoría de Steenrod operaciones" (que es impresionante) Corolario 5.2. De nuevo - no parece demasiado obvio.
3. Si ya lo sabes todo sobre perdidos cobordism, entonces es fácil (no me gusta llamar a cualquier cosa obvia) para mostrar que cualquier extraño-dimensional estable complejo colector es nulo bordant. Prueba: Por el resultado básico, sólo tenemos que verificar que el Stiefel-Whitney números son todos cero. Pero cuando hacemos un Stiefel-Whitney número, tendremos que utilizar un producto de Stiefel-Whitney clases en las que al menos uno de los Stiefel-Whitney clases de vidas en grado impar. Pero todos estos son cero; la prueba de esto me deja como ejercicio.
4. Otra razón por la que esto no es evidente: Cada enmarcada colector es canónicamente estable complejo y por eso tenemos un "olvidadizo" mapa de $\pi_*S \rightarrow MU_*$ (es el mismo que el Hurewicz mapa). Ahora, nos toca saber que la imagen de este mapa es cero en las dimensiones positivas, ya que $\pi_kS$ es de torsión para $k>0$, y si también sabíamos que $MU_*$ fue de torsiones nos gustaría a la conclusión de que cada positivos dimensiones enmarcada colector de los límites de un complejo estable. Ahora, este es probablemente mi ignorancia, pero no tengo idea de cómo probar esto geométricamente. Así, por ejemplo, tomar alguna extraña-dimensional de clase en $\pi_*S$ acostado en el núcleo de $\pi_*S \rightarrow \pi_*MO$ (esto es, básicamente, para descartar cosas generados por el invariante de Hopf de los elementos).

De todos modos, tal vez esto no responde a tu pregunta... y tal vez la respuesta es sí y estoy simplemente haciendo el tonto... pero realmente debería ir a la cama.

Answer 2

Según Peter May Estable Topología Algebraica 1945-1966

...there is no known geometric reason why the 
complex cobordism ring should be concentrated in even degree

(Esto está en la página 23)

Así que en realidad, como otros han mencionado, yo supongo que esto es sólo una expresión algebraica resultado. Sería interesante encontrar algún sentido geométrico detrás de él!