Countability de la puesta a cero de un polinomio real

Question

Esta es la pregunta de mi cálculo de la tarea: Es posible que un polinomio $f\colon\, \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}$ para tener una contables cero-set $f^{-1}(\{0\})$? (Contables quiero decir countably infinito).

Por supuesto, me dicen que es imposible.

Seguramente, si el cero a $z$ no es compartida con al menos una de las derivadas parciales, decir $\frac{\partial f}{\partial x_{1} }(z)\neq 0$, por el Teorema de la Función Implícita obtenemos (localmente) una curva suave $\{f(x_{1},t)=0\}=\{(x_{1},\gamma(x_{1}) )\}$, así que sin duda que es incontable. Sin embargo, puede darse el caso de que todos los de la real ceros son compartidos con todos los derivados. Mi pensamiento es proceder de alguna manera inductiva, pero no tengo idea de cómo hacerlo.

Nuestra profesora me dio una "sugerencia", para mostrar que a nivel local, las raíces de un polinomio (en una variable) varían analíticamente como una función de coefficents. Es esto cierto? ¿Hay algún primaria prueba de ese hecho? Sé que varían continuamente (como se discute aquí), pero los múltiples raíces me están volviendo loco...

Si usted fuera tan amable y me ayuda, le estaría muy agradecido. También, es mi primera pregunta, así que por favor perdonen los errores cometidos.

Gracias de antemano.

Answer 1

La única prueba de que he podido encontrar hasta ahora no uso analycity. Dicen que $f$ es un polinomio en las variables $x_1,x_2, \ldots ,x_n$. Denotamos por $Z(f)$ el conjunto de ceros de $f$, vamos a $p_i$ ser la proyección en el $i$-ésimo eje de coordenadas :

$$ p_i(x_1,x_2, \ldots ,x_n)=x_i $$

y deje de $Z_i=p(Z(f))$. Por el Tarski-Seideberg teorema, cada $Z_i$ puede ser definida por un conjunto de univariante polinomio de igualdades o desigualdades. Así que cada uno $Z_i$ es una unión finita de intervalos o puntos de $\mathbb R$. Si $Z_i$ contiene un intervalo de positivos longitud, $Z_i$ es incontable ; de lo contrario $Z_i$ es finito.

Si algunos $Z_i$ es incontable, por lo que es de $Z(f)$. Si todos los $Z_i$ son finitos, por lo que es de $Z(f)$. QED

Aquí están algunos ejemplos de cómo funciona esto : por un polinomio univariado de $f$,

-Cuando $f$ grado $1$, $f$ siempre tiene una única raíz simple.

-Cuando $f$ grado $2$, $f$ tiene dos simples raíces si ${\sf disco}(f)>0$, una doble raíz si ${\sf disco}(f)=0$, y no de la raíz en todas las si ${\sf disco}(f)<0$.

-Cuando $f$ grado $3$, $f=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$,

$$ \begin{array}{|l|l|l|} \hline \text{Casos} & & \text{Raíces de } \ f \\ \hline {\sf disco}(f') < 0 & & \text{una raíz simple de}\\ \hline {\sf disco}(f')= 0 y {\sf disco}(f) =0 & \text{una raíz triple} \\ \hline {\sf disco}(f')= 0 y {\sf disco}(f) \lt 0 & \text{una raíz simple de} \\ \hline {\sf disco}(f')\gt 0 y G(f)\lt 0 & \text{tres simple raíces}\\ \hline {\sf disco}(f')\gt 0 y G(f)= 0 & \text{una raíz simple, una doble raíz} \\ \hline {\sf disco}(f')\gt 0 y G(f)\gt 0 & \text{una raíz simple de} \\ \hline \end{array} $$

donde $G(f)=4a_3a_1^3 - a_2^2a_1^2 - 18a_0a_3a_2a_1 + 4a_0a_2^3 + 27a_0^2a_3^2 $

Answer 2

Se asume que $p(x)$ es un polinomio de grado $n\geq 1$ (con coeficiente inicial no cero, es decir, $p$ no es también un polinomio de grado $n-1$) y asumir que el ajuste a cero de $p$ es no finita (posiblemente incluso incontable).

Primero: es evidente que $p'(x)$ grado $n-1$, $p"(x)$ grado $n-2$ y así sucesivamente.

Segundo: tomar una contables subconjunto de la puesta a cero de $p$ y la etiqueta de sus elementos como $z_0,z_1,z_2,\ldots$ tales que $z_i\leq z_{i+1}$. Entonces, por Rolle thm, se deduce que en cada uno de los intervalos de dólares(z_i,z_{i+1})$, hay al menos un cero de $p'(x)$. Por lo tanto, también de $p'(x)$ tiene un no finita la puesta a cero.

Tercera (y última): repitiendo el paso anterior $n-1$ veces, obtenemos que $p^{(n-1)}(x)$ también tiene un no-finito puesta a cero. Sin embargo, $p^{(n-1)}(x)$ es una función lineal, con exactamente un cero (aviso que $p^{(n-1)}(x)$ no puede ser null función, causa en la que asume que el coeficiente no es cero). Contradicción.