Demostrar que $\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$ es irracional

Question

$\sqrt{2} + \sqrt[3]{3}$ es irracional ?

Estos son mis pasos -

$\sqrt{2} + \sqrt[3]{3} = a$

$3 = (a-\sqrt{2})^{3}$

$3 = a^{3} -3a^{2}\sqrt{2} + 6a -2\sqrt{2}$

$3a^{2}\sqrt{2}+2\sqrt{2} = a^{3}+6a-3$

$\sqrt{2}(3a^{2}+2) = a^{3}+6a-3$

A continuación, $\sqrt{2}$ en el lado izquierdo es irracional , y mulitply irratinal con racional es irracional. El lado derecho es racional. Por eso, $irrational \neq rational$.

Esta es una buena prueba ?

Answer 1

Si usted ha escrito en un polinomio de la forma sobre el Z, con el primer término como +1, entonces la solución es entero o irracional.

Supongamos que S es el conjunto $z_0+z_1a+z_2a^2 = x$, donde algunos de los $a^n =\sum^{n-1}_{i=0} z_ia^i$.

Entonces el conjunto S es cerrado para la suma, la multiplicación y la resta. Sin embargo, el único subconjunto finito de Q que es cerrado para la multiplicación es la Z, de modo que si una se en Q (es decir, los racionales), también debe estar en Z.

Pero como una no es en Z, es irracional.

A partir de la última línea de la plaza, $18a^4+24a^2+4 = a^6+12a^4-5a^3+36a^2-35a+9$. Esto se reduce a una ecuación de la forma descrita anteriormente, y por tanto, por no ser entero, es irracional. [Por CIERTO, esto es lo que yo llamo un "irracional entero']

QED.

Answer 2

Teniendo poderes de $\alpha=\sqrt2+\sqrt[\large3]{3}$ y colocarlos en forma de matriz, obtenemos $$ \begin{bmatrix} \alpha^0\\\alpha^1\\\alpha^2\\\alpha^3\\\alpha^4\\\alpha^5\\\alpha^6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0&0\\ 0&1&1&0&0&0\\ 2&0&0&2&1&0\\ 3&2&6&0&0&3\\ 4&12&3&8&12&0\\ 60&4&20&15&3&20\\ 17&120&90&24&60&18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\2^{1/2}\\3^{1/3}\\2^{1/2}3^{1/3}\\3^{2/3}\\2^{1/2}3^{2/3} \end{bmatrix}\etiqueta{1} $$ Podemos utilizar el método de esta respuesta para obtener un vector perpendicular a todas las columnas de la matriz anterior: $$ \begin{bmatrix} 1\\-36\\12\\-6\\-6\\0\\1 \end{bmatrix}^{\T grande} \begin{bmatrix} 1&0&0&0&0&0\\ 0&1&1&0&0&0\\ 2&0&0&2&1&0\\ 3&2&6&0&0&3\\ 4&12&3&8&12&0\\ 60&4&20&15&3&20\\ 17&120&90&24&60&18 \end{bmatrix}=0\etiqueta{2} $$ $(1)$ $(2)$ implica que $$ \alpha^6-6\alpha^4-6\alpha^3+12\alpha^2-36\alpha+1=0\etiqueta{3} $$ $(3)$ dice que $\alpha$ es un entero algebraico. Un racionales algebraicas entero debe ser un entero. Sin embargo, $1\lt\sqrt2\lt\frac32$$1\lt\sqrt[\large3]3\lt\frac32$, lo $2\lt\alpha\lt3$. Por lo tanto, $\alpha$ debe ser irracional.