¿Qué múltiplos de $d$ todavía son múltiplos de $d$ cuando tienen sus dígitos invertidos?

Question

Enseño en una escuela de 11 a 18 años de edad. Cada término puse un Reto en la pared de afuera de mi salón de clases.

Esta pregunta es una que se me han ocurrido para esa audiencia. Creo que es muy interesante y me gustaría compartirlo con una audiencia más amplia. Yo no soy consciente de que es una copia de otra pregunta.

Un supuesto subyacente a esta pregunta es que estamos escribiendo los números en base 10. Una pregunta podría ser investigar la misma pregunta en otras bases.

Definir el inverso de un número como el número creado por escrito de los dígitos del número original en el orden opuesto. Ceros a la izquierda se ignora, aunque se verá que esto hace muy poca diferencia a mi pregunta si esta estipulación es eliminado.

Por lo tanto $Reverse(1456)=6541$ $Reverse(2100)=12$

Mi pregunta es la siguiente: Para un determinado valor de $d$, lo que los números de $x$ tienen la propiedad de que $x$ es un múltiplo de a $d$ $Reverse(x)$ es un múltiplo de a $d$? Yo llame a estos números "reversible múltiplos de $d$."

Es evidente que hay "fuerza bruta" para investigar esta cuestión, pero estoy buscando algo más sutil respuestas.

Una buena respuesta debe abordar los siguientes temas:

a) Para algunos valores de $d$ todos los múltiplos son reversibles múltiplos. La lista de esos valores, con una prueba de por qué esto es así.

b) Para otros valores, existen ciertas propiedades que lo múltiple se debe tener para que sea reversible, es múltiple. Explicar estos.

c) Para al menos un valor no es un algoritmo que puede ser utilizada para construir reversible múltiplos. Describir un algoritmo.

¡A disfrutar!

Answer 1

Creo que esta pregunta es fascinante, gracias por publicarlo. Además de a$3$$9$, podría agregar que los múltiplos de $11$ también son siempre reversibles. Por lo tanto, se multiplica de $33$ $99$ también son siempre reversibles. Uno podría esperar que el cuadrado de un siempre reversible número conduce a una siempre reversible número, pero eso no es cierto: $81$ $121$ múltiplos no siempre son reversibles. Del mismo modo, $33^2 = 1089 \ $ no es siempre reversible. Sin embargo, 1089 es uno de mis números favoritos, ya que es reversible para los diez primeros múltiplos, lo cual es bastante inusual para un número de 4 dígitos!

Ahora, $1001$ es reversible para mucho más que sólo los diez primeros múltiplos. Es reversible para muchos multiplica la que uno podría estar tentado a pensar que siempre es reversible. Sin embargo, una rápida Mathematica búsqueda revela $1001 \cdot 1009 \ $ no es reversible, aunque cualquier múltiplo menos de $1009$ es reversible!

Es $1, 3, 9, 11, 33, 99 \ $ la lista completa de los números cuyos múltiplos son siempre reversibles? No sé ... (Edit: en realidad, esta pregunta se responde aquí: https://oeis.org/A018282/a018282.pdf )

Answer 2

La división de la prueba para $3$ $9$ (i.e si el número de dígitos de la suma de un múltiplo de $3$, que el número es un múltiplo de a $3$, y del mismo modo para $9$), muestra que la inversión de cualquier múltiplo de estos números es también un múltiplo de estos números.

Obvio restricciones en el primer dígito indica las condiciones para múltiplos de $2$$5$. Esto también le da una condición para $6$, ya que cualquier múltiplo de $2$ $3$ es un múltiplo de a $6$. Para $4$, sólo hemos de exigir que los dos primeros dígitos (cuando se invierte) son divisibles por $4$. Una prueba de divisibilidad para $8$ es para ver si los tres últimos dígitos de un número es divisible por $8$. Esto puede ser utilizado para dar una condición para $8$. Para $7$, una restricción puede ser colocado, pero parece un poco más complicado.

No estoy seguro de cuál es el algoritmo pregunta es llegar a (por ejemplo, acaba de tomar cualquier múltiplos de $3$. ¿Esto satisface su pregunta?).

Answer 3

Interesante pregunta! Veo que no obvia el camino hacia una solución general todavía.

Para $d = 2^k$, la solución no es muy interesante: los Números que califican son aquellos cuyo último $k$ cifras son divisibles por $d$, y cuya primera $k$ dígitos, cuando invierte, también son divisibles por $d$.

Para $d = 3$ o $9$, cualquier número divisible por $d$ sigue siendo divisible por $d$ cuando invierte.

Para $d = 5$, la solución no es otra vez muy interesante: El número debe comenzar con 5, y terminan en 0 o 5.

Para $d = 6$, cualquier número divisible por $6$ que comienza con un dígito sigue siendo divisible por $6$ cuando invierte.

Hay algunos interesantes pruebas de divisibilidad para $d = 7$, pero todavía estoy trabajando en cómo convertirlos en condiciones de divisibilidad sobrevivir dígitos de inversión. Voy a volver a editar este si/cuando se me ocurre algo.

Hay, por supuesto, los números no divisibles por $10$ que permanecen cuando invierte. (Tenga en cuenta que esta es afectada por el hecho de ceros a la izquierda se cayó.)

Cualquier número divisible por $11$ permanece así que cuando invierte.

De forma análoga con el $d = 6$ de los casos, cualquier número divisible por $12$, que comienza con dos dígitos, que producen un número divisible por $4$ cuando se invierte, siendo divisible por $12$ cuando invierte.

Answer 4

Como Tyler Seacrest señaló, los únicos números en el cual cada una de las múltiples es reversible son los divisores de $99$. Además, no hay ningún número divisible por $10$ admite reversible múltiplos (a menos que nos permita relleno con ceros).

Ahora supongamos que $d$ no es divisible por $2$ o $5$ y deje $a = \phi(d)$ donde $\phi$ es de Euler totient función. Entonces por Fermat poco teorema sabemos que $10^a \equiv 1 \pmod{d}$. Por tanto, para cualquier entero positivo $k$ el número de $$ n_k = n_k(d) := \sum_{i = 0}^{d-1} 10^{th} $$ es divisible por $d$. Por otra parte, $n_k$ es palíndromo, porque $$ \text{Inversa}(n_k) = \sum_{i = 0}^{d-1} 10^{(d-1-i)ka} = \sum_{j = 0}^{d-1} 10^{jka} $$ por lo tanto es reversible.

Además, definen $n_k(1) = 10^k + 1$ y supongamos que $p \in \{2,5\}$ $p^h \parallel d$ algunos $h \geq 1$. Si podemos encontrar una $m$ reversible wrt $p^h$, $m n_k(\frac{d}{p^h})$ es reversible con respecto a $d$ por cada $k$ mayor o igual que el número de dígitos de $m$.

Finalmente, como Brian Tung observado de cada potencia de $2$ admite un reversibles número. Del mismo modo, podemos probar que un número $m$ es divisible por $5^h$ si y sólo si el número formado por sus últimos$h$) dígitos, es decir, por la observación de que $5^h \mid 10^{h+i}$ por cada $i \geq 0$ y tomando el residuo de la clase modulo $5^h$$m$. De ahí que el número dado por la concatenación de $\text{Reverse}(5^h)$ $5^h$ es reversible wrt $5^h$.

Poniendo todo junto, llegamos a la conclusión de que cada entero positivo $d$ no divisible por $10$ admite infinidad reversible números, mientras que cada múltiplo de $10$ no admitir cualquier reversible número.

Answer 5

Aprovecho esta pregunta en su más abierta, forma de cómo mirar a tales problemas. He visto, en mis 18 años, que es bueno tomar estos problemas tan directamente como sea posible en potencias de diez.

Supongamos que tenemos un entero positivo x en su expansión decimal, que se define como

$$ x = n_0 10^0 + n_1 10^1 + ... n_{j-1} 10^{j-1} + n_j 10^j $$

Definir Rev(x) como una permutación de las $ n_i $ de los valores, específicamente, una reversión de ellos, como

$$ x = n_j 10^0 + n_{j-1} 10^1 + ... n_1 10^{j-1} + n_0 10^j $$

Podría ser útil para definir el Rev(x) dos funciones diferentes para un número impar de dígitos y un número par, ya que el número medio sigue siendo el mismo. Pero la verdad es que tengo poco que decir acerca de algoritmos de computación y más acerca de la parte matemática.

Empezamos, como el OP descrito, con un valor de d. A continuación construiremos los múltiplos de d para encontrar los valores de x que tienen como divisor, y encontrar sus expansiones. Ya queremos probar $ divisibility $, se puede reducir simplemente mod d hacer las cosas más fáciles.

$ n_j 10^0 + n_{j-1} 10^1 + ... n_1 10^{j-1} + n_0 10^j ≡ 0 $ (mod d)

Encontrar el orden de los 10 mod d y su serie de itera, simplemente reemplazar las potencias de diez con los recorre y, a continuación, busque soluciones en la Rev(x) permutación. Podemos revertir las potencias de diez o n real de los valores, funciona de la misma de cualquier manera.

Nota: este método nos permite agrupar los dígitos una vez que hemos dado la vuelta a la orden de 10, por lo que no se puede pedir mucho más lento de llegar en los enteros para los más pequeños d. Un 210 dígitos valor de x puede verificarse sin ninguna división por ver si la congruencia tiene, y sumando los dígitos que se d espacios de cada uno de los otros antes de multiplicar, ya que el grupo juntos después de la simplificación de las órdenes de diez.

Sé que no es exactamente lo que usted pidió, pero voy a trabajar en la próxima oportunidad que tenga un poco de tiempo. Esto le da el marco básico para a, b y c, tal como se dio a ellos, listado de cuáles son las propiedades que son necesarias.