Cinemática de la ecuación como suma infinita

Question

No estoy seguro exactamente de cómo frase esta pregunta, pero aquí va:

$v=\dfrac{dx}{dt}$ por lo tanto $x=x_0+vt$

A MENOS que haya una aceleración, en cuyo caso

$a=\dfrac{dv}{dt}$ por lo tanto $x=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}at^2$

A MENOS que haya un tirón, en cuyo caso

$j=\dfrac{da}{dt}$ por lo tanto $x=x_0+v_0t+\dfrac{1}{2}a_0t^2+\dfrac{1}{6}jt^3$

Están recogiendo en el patrón? La velocidad es la primera derivada de la posición con respecto al tiempo, la aceleración es la segunda, jerk es la tercera, y la fórmula sólo se hace más y más.

Digamos que, hipotéticamente, y el objeto se mueve tal que $\dfrac{d^{500}x}{dt^{500}}$ fue una constante mayor que cero. ¿Hay alguna fórmula para la posición de un objeto que implementa una infinita suma de tiempo de los derivados de la posición? tal vez la siguiente forma

$$x=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\dfrac{d^nx}{dt^n}t^n$$

Answer 1

Cualquier "razonable" la función $f$ (como se llama a las funciones analíticas) tiene como una expansión, conocida como una expansión de Taylor involucrando a los derivados de la propia función. Considerar una posición $x(t)$ de una partícula. \begin{aligned} x(t) = x(t_0 + \Delta t) &= x(t_0) + x'(t_0)\Delta t + \tfrac{1}{2}x''(t_0)\Delta t^2 + \tfrac{1}{6}x'''(t_0)\Delta t^3 + \dotsb \\ &= \sum_{n=0}^\infty \tfrac{1}{n!}x^{(n)}(t_0)\Delta t^n \end{aligned} Como usted menciona, ampliar la función de órdenes superiores, dependiendo de la influencia de las derivadas de orden superior. Sin embargo, tenga en cuenta que en esta expansión, los poderes de la $\Delta t$ de aumento con cada término adicional se añade a la expansión. Para valores pequeños de a $\Delta t$, estos términos tienen menos influencia. Un pequeño plazo cubed es más pequeño que un término pequeño cuadrado es menor que el de un pequeño plazo para el primer poder.

El asunto es que este tipo de expansión de la serie es omnipresente en la física, por ejemplo en la energía potencial de una partícula cerca de un punto de equilibrio estable $x_0$: \begin{aligned} U(x) = U(x_0 + \Delta x) &= U(x_0) + U'(x_0)\Delta x + \tfrac{1}{2}U''(x_0)\Delta x^2 + \dotsb \\ &= U(x_0) + \tfrac{1}{2}U''(x_0)\Delta x^2 + \dotsb \end{aligned} dado que el término que involucra la primera derivada de la $U$ es cero cuando $U$ está en un punto de equilibrio estable (derivado de cero en un mínimo). Si podemos reescribir esta ecuación ignorando los términos de orden superior que contribuyen menos y menos, y definir $U(x) - U(x_0) = \Delta U$ hemos \begin{aligned} U(x) &= U(x_0) + \tfrac{1}{2}U''(x_0)\Delta x^2 \\ \Delta U &= \tfrac{1}{2}U''(x_0)\Delta x^2, \end{aligned} que puede ver es sospechosamente similar a la de la energía potencial de un oscilador armónico como una masa en la primavera: $$ \Delta U = \tfrac{1}{2}k\Delta x^2. $$ Es el oscilador armónico que es un caso especial de la más general de expansión que estamos viendo anteriormente.

Answer 2

Todo lo que están haciendo es $$x = \int \int a(t)\, {\rm d}t$$ y cuando usted tiene linealmente variable de aceleración (w/ jerk), usted termina con una cúbicos función.

La clave de todo esto es el hecho de que $$ \frac{{\rm d}^i x^n}{{\rm d}x^i} = \frac{n!}{(n-i)!} x^{n-i} $$

y están resolviendo las ecuaciones de $$ \begin{aligned} v(t) =& \frac{{\rm d} x(t)}{{\rm d}t}\\a(t) =& \frac{{\rm d}^2 x(t)}{{\rm d}t^2} \\ j(t) =& \frac{{\rm d}^3 x(t)}{{\rm d}t^3} \\ \ldots \end{aligned} $$