Es decir, que $f:X \rightarrow Y$ sea un mapa de espacios tal que $f_*: H_*(X) \rightarrow H_*(Y)$ induce un isomorfismo en la homología. Obtenemos un mapa inducido $\tilde{f}: \Omega X \rightarrow \Omega Y$ , donde $\Omega X$ es el espacio de bucle de $x$ . Hace $\tilde{f}$ también inducen un isomorfismo en la homología?
Respuestas
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Jonesinator
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No es cierto en general.
Di, toma un anillo $R$ y considerar el mapa $BGL(R)\to BGL(R)^+$ . Siempre induce un isomorfismo en la homología, pero $$H_1(\Omega BGL(R))=H_1(GL(R))=0$$ ( $GL(R)$ tiene una topología discreta) y $$H_1(\Omega BGL(R)^+)=\pi_1(\Omega BGL(R)^+)=\pi_2(BGL(R)^+)=K_2(R)$$ a menudo no es trivial.
Matt Dawdy
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He aquí una familia más explícita de contraejemplos. Sea $X$ ser un esfera de homología de dimensión mínima $3$ con un punto eliminado. Entonces $X$ es un espacio acíclico con el mismo grupo fundamental que la esfera homológica original. Por lo tanto, el mapa constante $f : X \to \text{pt}$ induce un isomorfismo en la homología. Para que el mapa inducido
$$\Omega f : \Omega X \to \text{pt}$$
en espacios de bucles (con alguna elección de punto base) para inducir un isomorfismo en la homología, debe inducir un isomorfismo
$$H_0(\Omega f) : H_0(\Omega X) \cong \mathbb{Z}[\pi_1(X)] \to H_0(\text{pt}) \cong \mathbb{Z}$$
lo que equivale a $\pi_1(X)$ siendo trivial. Pero, por supuesto, una esfera de homología no necesita tener un grupo fundamental trivial, así que, por ejemplo, podemos tomar $X$ para ser el espacio dodecaédrico de Poincare menos un punto.
