Esta no es una pregunta profunda, pero si hay una respuesta definitiva, aquí es donde la encontraré.
¿Es justificado decir que $i =\sqrt{-1}$ es racional?
El origen de esta pregunta radica en una discusión regular que tengo sobre esta camiseta mía:
Aunque el comentario obvio de $\pi$ es completamente legítimo, el de $\sqrt{-1}$ podría ser hipócrita, si se cuestiona la racionalidad de $\sqrt{-1}$.
Es un número racional gaussiano, pero no es racional en el sentido convencional de la palabra porque los números racionales son reales.
El número $\sqrt{-1}$ no es real. Dado que los racionales son solo un tipo particular de número real, tampoco puede ser racional.
Otra forma de verlo: Si existieran enteros $a$ y $b$ tales que $\sqrt{-1} = \frac{a}{b}$ entonces $$ -1 = \frac{a^2}{b^2}, $$ y así $$ a^2 = -b^2. $$ Dado que $b^2$ es ciertamente positivo, eso significa que $a^2$ es ciertamente negativo, lo cual es imposible.
Repitiendo lo que otras personas ya han dicho: no $i= \sqrt{-1}$ es un número racional.
Tienes $$ \begin{align} &\mathbb{C} \;\text{ los números complejos}\\ &\cup \\ &\mathbb{R} \;\text{ los números reales}\\ &\cup \\ &\mathbb{Q} \;\text{ los números racionales}\\ &\cup \\ &\mathbb{Z} \;\text{ los enteros}\\ &\cup \\ &\mathbb{N} \;\text{ los números naturales} \end{align} $$ Aquí el $\cup$ denota que lo de abajo está contenido en lo de arriba. Entonces, por ejemplo, todos los números reales son números complejos. Y: un entero es un número real. Ten en cuenta que, por ejemplo, no todos los números complejos son números reales. No todos los números complejos son números racionales. No todos los enteros son números naturales.
Entonces, la pregunta ahora es si $i = \sqrt{-1}$ (que es un número complejo) es un número racional. Y aquí primero notamos que los números racionales son aquellos números que pueden expresarse como una fracción $\frac{a}{b}$ donde $a$ y $b$ son enteros (por lo tanto pertenecen a $\mathbb{Z}$) ($b\neq 0$). Entonces, ¿es $i = \frac{a}{b}$ para algún entero $a$ y $b$? Como se proporciona en la respuesta de Austin, se puede mostrar que efectivamente la respuesta es no.
Para tener algo en que pensar, quizás puedas responder a la pregunta: ¿Es $\sqrt{2}$ un número racional? (Puedes encontrar la respuesta aquí en M.SE).
$\sqrt{-1} = i$ es un número imaginario, que no se encuentra en ninguna parte de la línea de números reales. Por lo tanto, como otros han dicho, no es ni racional ni irracional en el sentido usual de esas palabras.
Para comentar sobre la gramática específica de la camiseta: el imperativo de $\pi$ es 'Get real', que yo diría tiene la connotación de 'únete al grupo [del hablante]'. Claramente, esto tiene sentido, ya que $\pi$ es un número real. $i$, por otro lado, solo dice 'sé racional', que diría carece de la connotación de unirse al grupo del hablante; en cambio, $i$ simplemente está instando a $\pi$ a unirse a los racionales, sin implicar la membresía de $i.
Más bien $\sqrt{-1}$ es el número algebraico, pero no racional.
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