Aplicaciones de la equidistribución

Question

¿Cuáles son las aplicaciones de las secuencias equidistribuidas?

Busco ejemplos de problemas/cuestiones en campos (no necesariamente matemáticos) en los que la equidistribución sea una herramienta ad hoc para su solución.

Answer 1

Antes de enumerar algunas aplicaciones de la equidistribución, tengo que dejar claro qué es y qué no es la equidistribución. Especialmente lo que es es porque muchos personas tienen una visión bastante limitada de la misma.

En primer lugar, la equidistribución no es una subárea de la teoría de los números ni ni una técnica. Es un principio y, como tal, impregna en cierta medida todos los campo de las matemáticas en cierta medida (como veremos, esto incluye algunas álgebra pura y dura).

En segundo lugar, la equidistribución no es un juego que se realice sólo en $[0,1]$ o el verdadero números. El texto clásico de Kuipers y Niederreiter considera la equidistribución en espacios y grupos topológicos generales.

En tercer lugar, las secuencias no son lo único que se puede equidistribuir. Cualquier sistema que implique un parámetro es susceptible de la noción, tanto si el conjunto de índices sea los enteros, los reales, un espacio vectorial real o complejo o una categoría categoría de índice adecuada. Todo lo que se necesita es un objeto dirigido, una noción de promedio en el objetivo y una cierta completitud.

En cuarto lugar, cuando los expertos hablan de equidistribución no se refieren necesariamente a una distribución límite que dé una parte justa de la secuencia a cada de la secuencia a todos los rincones del espacio, aunque eso es lo que implica su nombre y es la distribución limitadora más importante. Lo que los expertos quieren decir es que la secuencia tiene una distribución límite. De hecho, la equidistribución debería llamarse mejor "teoría de la distribución límite".

Por último, encontrar una distribución límite no es el fin de la investigación, es un poco más abajo del punto medio. Una distribución límite no es lo suficientemente buena suficiente por razones prácticas, se quiere saber qué pasa antes de llegamos a el límite; aquí es donde entra la noción crucial de discrepancia, y eso puede complicarse bastante si el espacio anfitrión tiene una geometría rica: entonces hay que tienes que definir muchas discrepancias adaptadas a varias formas en tu espacio, y como la discrepancia no es una declaración limitante, es muy delicada con con respecto a la forma. Menciono esto porque la estimación de la discrepancia es uno de los aspectos más aplicables de la teoría de la equidistribución.

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Ahora pasemos a las aplicaciones.

Como principio, ya que la equidistribución es un límite de los procesos de recuento, naturalmente ayuda a simplificar los problemas de recuento difíciles pasando al límite. Por ejemplo:

1. Contar el número de geodésicas cerradas de alguna longitud acotada en una superficie hiperbólica, o más generalmente toros totalmente geodésicos en espacios simétricos. Véase http://www.math.harvard.edu/~ctm/papers/home/text/papers/mixing/mixing.pdf para una introducción accesible.

2. Contar números primos; el teorema de los números primos es una equidistribución y la Hipótesis de Riemann un límite de discrepancia óptimo. En delimitando esta discrepancia de forma óptima, se garantiza que no hay huecos notables en la distribución de los números primos que puedan ser explotados para optimizar la para optimizar la factorización por fuerza bruta (para descifrar criptosistemas de clave pública) evitando evitar las regiones "infelices" del espacio de búsqueda.

3. Probar la densidad de una secuencia en un espacio. Esta es una técnica paradójica pero muy técnica común: se tiene una secuencia en un espacio que se quiere demostrar que es densa. Demuestra la afirmación más fuerte de que está equidistribuida y ya está.

4. El recuento y, en general, la distribución de puntos racionales en grupos algebraicos, sus espacios homogéneos y variedades algebraicas. Variedades algebraicas sobre un campo $k$ puede tener muchos puntos en un cierre algebraico, pero ¿cómo sabemos de la existencia de puntos en $k$ o extensiones finitas? Para una gran clase de variedades esta cuestión es de equidistribución (por el esquema paradójico equidistribución implica densidad). Véase la sorprendente exposición de Yuri Tchinkel aquí: http://www.cims.nyu.edu/~tschinke/papers/yuri/08cmi/cmi4.pdf

5. Un ejemplo sorprendente del tema anterior se encuentra en relación con conjeturas de Weil. Al demostrar las conjeturas de Weil, Deligne formuló su teorema de equidistribución que vincula de manera fascinante las variedades proyectivas y grupos afines (reales compactos); esto formó parte de la inspiración de Katz y Sarnak de que la estadística de los ceros de las funciones zeta de variedades algebraicas provienen de conjuntos de matrices aleatorias (Haar) en grupos compactos grupos compactos o espacios simétricos de tipo compacto. La prueba completa se encuentra encuentra en Katz & Sarnak, Random Matrices, Frobenius Eigenvalues, and Monodromy.

6. El innovador trabajo de Manjul Bhargava sobre el número de campo de bajo grado de discriminante acotado se basa en un problema de recuento que implica técnicas de equidistribución. Este es un caso (de los muchos) en el que el objeto que se equidistribuye es una estructura algebraica. Para saber más, véase el artículo http://arxiv.org/pdf/1309.2025 o bien, sumergirse directamente en la secuencia de los artículos de Bhargava en los Anales (el original basado en su tesis no es demasiado no es demasiado difícil de leer debido a la claridad de su escritura; sin embargo, se vuelve más y más cada artículo sucesivo). En la primera página de http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v162-n2-p10.pdf tienes una declaración de equidistribución :)

7. Para un sabor más aplicado, la integración numérica y todo el campo de de la teoría de la aproximación dependen de la búsqueda de secuencias discretas en un espacio distribuidas lo suficientemente bien como para sustituir la integración por la suma ponderada en la secuencia. El resultado básico que lo hace posible es la desigualdad de Koksma-Hlawka que establece, a grandes rasgos, que la diferencia entre la integral y un sumatorio sobre una muestra está limitada por la discrepancia de la muestra por la variación del integrando. Esto se ha extendido a un gran número de número de escenarios y es uno de los enunciados matemáticos más útiles fuera de las matemáticas.

8. De hecho, el mejor lugar para buscar aplicaciones de la equidistribución fuera de las matemáticas es en todas partes . Eso es porque la equidistribución va de la mano con la omnipresente problema de muestreo . El muestreo por ensayos independientes no es una buena idea, porque la independencia garantiza que usted tener largas cadenas de sesgo, y no sabes dónde estarán. Lo que quiere son muestras de baja discrepancia y ese es el ámbito de la equidistribución.

9. Los físicos se preocupan por la distribución de las funciones electrónicas de los hamiltonianos en las ejemplo primordial del caos cuántico. El enunciado matemático se llama ergodicidad cuántica y es esencialmente una declaración de equidistribución, véase el artículo de la wiki http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_ergodicity y la de Sarnak libro Arithmetic Quantum Chaos para una espléndida introducción (no sólo a la teoría aritmética, también tiene una buena exposición sobre el problema físico general física general). El libro está disponible gratuitamente en Internet.

Hay tantas aplicaciones fuera de las matemáticas que este post nunca tendría que terminar. Sin embargo, tengo que parar en algún sitio, así que te dejaré que sigan los enlaces anteriores y se ramifiquen. El punto de partida de la teoría es Kuipers y Niederreiter Distribución Uniforme de Secuencias, pero como he como he indicado anteriormente, apenas hay un campo matemático que no explote el principio de equidistribución. Para los que no lo hacen, bueno, ¿a qué esperan?

EDIT: Oh, querida, se me olvidó mencionar la abrumadora cantidad de aplicaciones de la equidistribución en la Informática. Como estoy demasiado cansado para una gran edición, si eres informático y quieres ver esas aplicaciones, te recomiendo de todo corazón el libro de Chazelle The Discrepancy Method. ADVERTENCIA: algunas de las pruebas allí son INCORRECTAS y algunos de los ejercicios no se pueden hacer. Sin embargo, la prosa y la selección de temas hacen una excelente introducción a la teoría de la discrepancia en CS y campos relacionados.

Answer 2

Esto no es demasiado amplio, pero me recuerda una solución a un problema específico:

Demuestre que la secuencia $tan(n) ; n=1,2,3,...$ diverge.

Podemos demostrarlo utilizando la equidistribución de $\pi$ ( y por lo tanto $\pi/2) mod1$ , es decir, las partes decimales de $\{\pi, 2\pi,..., n\pi,...\}$ son densos en el intervalo unitario. Se deduce que la secuencia $$a_n =n $$ estará indefinidamente cerca de (pero nunca será realmente igual a, por la irracionalidad de $\pi$ ) a $(4k \pm 1)\pi/2$ para que $tan(n)$ explotará para un número infinito de n, es decir, más allá de cualquier valor específico/fijo de n. Así que $tan(n)$ diverge. EDIT: Lo que quiero decir aquí es que las partes decimales de $\{\pi,2pi,..., n\pi,...\}$ son densos en el intervalo unitario. Lo mantengo a pesar del voto negativo.