Habiendo establecido que el número original es divisible por 9, el dígito borrado debe ser o bien 0 o bien 9 porque sólo estos dos dígitos pueden dejar la suma de dígitos divisible por 9. Llama al dígito borrado $d$ y asumir que está en el $10^k$ lugar: $$aaa\dots adb\dots bbb=A\cdot10^{k+1}+d\cdot10^k+B$$ $$aaa\dots ab\dots bbb=A\cdot10^k+B$$ $$A\cdot10^{k+1}+d\cdot10^k+B=9(A\cdot10^k+B)$$ $$10A\cdot10^k+d\cdot10^k+B=9A\cdot10^k+9B$$ $$A\cdot10^k+d\cdot10^k=8B$$ $$8B=(A+d)\cdot10^k$$ $$B=(A+d)\cdot\frac{10^k}8$$ Sin embargo, por nuestra construcción anterior debemos tener $B<10^k$ Así que $$(A+d)\cdot\frac{10^k}8<10^k$$ $$A+d<8$$ Si $d=9$ entonces $A$ se vería obligado a ser negativo, lo que es imposible. Por lo tanto, $d=0$ , $A<8$ y todos los números que satisfacen las condiciones de la primera parte de la pregunta son de la forma $$N=A\cdot10^{k+1}+A\cdot\frac{10^k}8,\ 0<A<8,\ k\ge3-\log_2\gcd(A,8)$$ La restricción de $k$ garantiza que $A\cdot\frac{10^k}8$ es un número entero. $A$ no puede ser cero porque $N$ comenzaría con un cero.
Las cifras $N$ se dividen en siete clases según lo que $A$ es: $$A=1: N=10125\cdot10^{k-3}$$ $$A=2: N=2025\cdot10^{k-2}$$ $$A=3: N=30375\cdot10^{k-3}$$ $$A=4: N=405\cdot10^{k-1}$$ $$A=5: N=50625\cdot10^{k-3}$$ $$A=6: N=6075\cdot10^{k-2}$$ $$A=7: N=70875\cdot10^{k-3}$$ Independientemente de lo que $k$ es, la división por 9 no tocará los ceros finales, así que podemos ignorarlos. Dividiendo $N$ por 9 elimina el cero que está segundo por la izquierda, produciendo los siguientes prefijos, y dividir por 9 de nuevo se puede lograr eliminando el dígito más a la izquierda: $$\require{cancel}A=1:\cancel1125\ldots\to125\dots$$ $$A=2:\cancel225\ldots\to25\dots$$ $$A=3:\cancel3375\ldots\to375\dots$$ $$A=4:\cancel45\ldots\to5\dots$$ $$A=5:\cancel5625\ldots\to625\dots$$ $$A=6:\cancel675\ldots\to75\dots$$ $$A=7:\cancel7875\ldots\to875\dots$$ De ahí la prueba que pide la pregunta, que $\frac N{81}$ se puede alcanzar borrando un solo dígito de $\frac N9$ se ha demostrado.
