Su amigo significaba que todo el complejo los números pueden ser representados por dichas matrices.
$$a+bi = \begin{pmatrix} a & b \\ b & \end{pmatrix}$$
La adición de números complejos coincide con la adición de tales matrices y multiplicación de números complejos coincide con la multiplicación de tales matrices.
Esto significa que la colección de matrices:
$$R = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ b & \end{pmatrix} \;\Bigg|\; a,b \in \mathbb{R} \right\}$$
es "isomorfo" para el campo de los números complejos.
Específicamente,
$$i = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Observe que para esta matriz $i^2=-I_2=-1$. :)
¿Cómo ayuda?
Se permite construir los números complejos a partir de matrices sobre los reales. Esto le permite llegar a algunas propiedades de los números complejos a través de álgebra lineal.
Por ejemplo: El módulo de un número complejo es de $|a+bi|=a^2+b^2$. Este es el mismo que el determinante de dicha matriz. Ahora ya que el determinante de un producto es el producto de un factor determinante, $|z_1z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$ para cualquiera de los dos números complejos $z_1$ y $z_2$.
Otro buen empate, la transposición de los partidos de la conjugación. :)
Edit: Según la petición, un poco acerca de la fórmula de Euler.
La función exponencial puede ser definida en un número de maneras. Una buena manera es a través de su serie de MacLaurin: $e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots$. Si usted comienza a pensar de $x$ como algún tipo de indeterminant, usted puede comenzar a preguntarse, "¿Qué puedo conectarlo en esta serie?" Resulta que la serie:
$$e^a = I+A+\frac{A^2}{2!}+\frac{a^3}{3!}+\cdots$$
converge para cualquier matriz cuadrada $$ (usted tiene que hacer sentido de "convergente la serie de matrices").
Considere la posibilidad de un "real", $x$, codificado como una de nuestras matrices:
$$x=\begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} \quad \mbox{entonces} \quad e^x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x^2/2 & 0 \\ 0 & x^2/2 \end{pmatrix} + \cdots$$
$ $ a= \begin{pmatrix} 1+x+x^2/2+\cdots & 0 \\ 0 & 1+x+x^2/2+\cdots \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} e^x & 0 \\ 0 & e^x \end{pmatrix} = e^x$$
(No hay sorpresa) la matriz exponencial y el buen viejo real exponencial de hacer la misma cosa.
Ahora uno puede preguntar, "¿Qué hace la exponencial de un número complejo llegar?" Resulta que...
$$\mbox{Dado } a+bi = \begin{pmatrix} a & b \\ b & \end{pmatrix} \quad \mbox{entonces} \quad e^{a+bi} = \begin{pmatrix} e^a\cos(b) & -e^a\sin(b) \\ e^a\sin(b) y e^a\cos(b) \end{pmatrix}$$
...esto implica algunos (?intermedio?) álgebra lineal.
De todos modos aceptar que, hemos encontrado que $e^{a+bi} = e^(\cos(b)+i\sin(b))$. En particular,
$$e^{i\theta} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$
Así que
$$e^{i\pi} = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = -1$$
Podemos ver de esta manera que el complejo de exponenciación (con el imaginario puro exponente) produce una matriz de rotación. Por lo tanto nos lleva por un camino para iniciar la identificación de los complejos de la aritmética con 2-dimensional de las transformaciones geométricas.
Por supuesto, hay muchas otras maneras de llegar a estas relaciones. La matriz de la ruta no es la forma más rápida y fácil de la ruta, pero es interesante contemplar.
Espero que ayude un poco. :)
