¿Cómo puedo averiguar la superficie de esta región?

Question

Un cuadrado de 2 cm de arista tiene semicírculos dibujados en cada lado.
Halla el área total de la región sombreada.

A continuación se muestra una imagen del diagrama :

Por favor, muestre su trabajo en imágenes, números, palabras, lo que sea. (Trate de mantenerlo a un nivel de Grado 8 también)

Answer 1

El cuadrado tiene área $4$ .

La región blanca superior e inferior juntas tienen área $4$ menos $2$ veces el área del semicírculo, es decir, $4-2\times \pi r^2/2=4-\pi$ (ya que $r=1$ ).

Por lo tanto, dividiendo por $2$ la región azul superior tiene un área $2-\pi/2$ .

Si se quita esta área del área del semicírculo superior se obtiene el área de las dos partes rojas superiores.

Duplícalo para obtener la zona roja.

Answer 2

Mueve la mitad de una hoja al círculo:

$\hspace{3cm}$

El área del cuarto de círculo es $\frac\pi4$ el área del triángulo es $\frac12$ . Por lo tanto, el área de la media hoja (en rojo) es $\frac\pi4-\frac12$ . Hay dos por hoja, por lo tanto el área de cuatro hojas es $$8\left(\frac\pi4-\frac12\right)=2\pi-4$$

Answer 3

Se ven cuatro semicírculos. Cada uno de ellos delimita un semidisco. Sumando las áreas de estos cuatro semidiscos, se cuenta dos veces cada región morada y una vez cada región blanca.

Por lo tanto, el área púrpura más el área del cuadrado de lado $2$ es el doble del área de un disco de diámetro $2$ Eso es, $\color{purple}{\mathbf{purple\ area}}+2^2=2\cdot\frac14\pi\cdot2^2$ .

Por fin, $\color{purple}{\mathbf{purple\ area}}=2\pi-4$ .

Answer 4

Existen $8$ segmentos circulares, cada uno de área

$$\frac{\pi}{2} r^2 (\theta - \sin{\theta})$$

donde $r$ es el radio, y $\theta$ es el ángulo subtendido en el centro por el segmento. Aquí, desde la geometría, $r$ es claramente $1 \, \mathrm{cm}$ y $\theta = \frac{\pi}{2}$ cada segmento abarca la mitad de un semicírculo.

Por lo tanto, el área sombreada es

$$8 \frac{\pi}{2} (1 \, \mathrm{cm}^2) \left ( \frac{\pi}{2} - 1 \right ) = (2 \pi - 4) \, \mathrm{cm}^2$$

Answer 5

En su lugar, prueba este sencillo método. A partir de la Fig. A el área de la región sombreada es $A_{A}(4-\pi)$ Del mismo modo que en la figura B, el área es $A_{B} = (4-\pi)$ Ahora, al restarlo del todo, se obtienen las cuatro zonas sombreadas de la pregunta dada. El área sombreada es $A = 4 -(4-\pi)-(4-\pi)= 2\pi-4$