La otra pregunta es aquí.
Deje $F$ ser un campo de función de una variable sobre un campo $k$. Deje $S$ un vacío finito subconjunto del conjunto de todos los lugares de $F$. Probar que si $P \in S$, hay un elemento $f$ $F$ tal que $P$ es el único polo de $f$.
Para $P \in S$, vamos a $f_P$ ser un elemento de $F$ tal que $P$ es el único polo de $f_P$. Vamos $$f:= \sum_{P \in S} f_P.$$How do I prove that $S$ coincides with the set of all poles of $f$?
Para cada lugar $Q$, la función de $\text{ord}_Q$ es un discreto valoración de $F$, y satisface la fuerte desigualdad de triángulo
$$\text{ord}_Q(h+g) \geq \min \{\text{ord}_Q(h), \text{ord}_Q(g)\}.$$
El punto clave es que :
Al $\text{ord}_Q(h) \neq \text{ord}_Q(g)$, la desigualdad de triángulo es una igualdad:
$$\text{ord}_Q(h+g) = \min \{\text{ord}_Q(h), \text{ord}_Q(g)\}.$$
Es fácil ver a partir de este, por inducción, que si $g_1, \dots, g_n \in F$, e $\text{ord}_Q(g_1) < \text{ord}_Q(g_i)$$i>1$, luego
$$\text{ord}_Q(\Sigma h_i) = \text{ord}_Q(h_1).$$
Veamos ahora su $f = \sum_{P \in S} f_P$. Elija un lugar $Q$$F$. Si $Q \notin S$, $\text{ord}_Q(f_P) \geq 0$ todos los $P \in S$ porque $P$ es el único polo de $f_P$. En ese caso,
$$\text{ord}_Q(f) \geq \min \{\text{ord}_Q(f_P) : P \in S\} \geq 0$$
por lo $Q$ no es un polo de $f$. Si $Q=P\in S$, $\text{ord}_P(f_P) < 0$ $\text{ord}_P(f_{P'}) = 0$ para todos los otros $P'\in S$, por definición de la $f_P$'s. Por lo tanto, la discusión anterior muestra que
$$\text{ord}_P(f) = \text{ord}_P(f_P) < 0,$$
de modo que $P$ es realmente un polo de $f$, con el mismo orden que el polo de la $f_P$.
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