Una pregunta sobre procesos estocásticos y los tiempos de parada

Question

Trabajando a través del libro "Movimiento browniano & procesos estocásticos" por Karatzas y Shreve, he encontrado el siguiente problema (página 6, problema 2.2):

Que $ X $ ser un proceso estocástico y $ T $ un tiempo de parada de $ \{ \mathcal{F}_t^X \}$, donde $ \mathcal{F}_t^X := \sigma (X_s, 0 \leq s \leq t) $. Supongamos que para cualquier $ \omega, \omega ' \in \Omega $, que tenemos $ X_t (\omega) = X_t (\omega '), $ for all $ t \in [0, T (\omega)] \cap [0, \infty) $.

Mostrar que $ T ( \omega ) = T ( \omega ') $.

¿Alguien sabe cómo demostrar esto? ¡Muchas gracias por sus esfuerzos! Saludos, Si

Answer 1

Aquí es una prueba de que viene de un francés de Matemáticas foro :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,376956,377123#msg-377123

Traduzco la solución para los no lectores franceses.

Así que aquí viene la solución (el crédito va a egoroff) :

Para $T(\omega)<\infty$, fix $\mathcal{H}$ como la colección de conjuntos que no separan $\omega$$\omega'$, es decir, conjuntos de $A$ s.t. cualquiera de las $\{\omega,\omega'\}\in A$ o $ \in A^c$. Entonces es fácil ver que $\mathcal{H}$ $\sigma$- campo.

Este fue el primer paso. Siguiente para cada $(n+1)$-tupla $t_0<...<t_n\le T(\omega)$ y todos los conjuntos de Borel $A_{t_i}$, la $(X_{t_i})_{i=0,...,n}\in \Pi_{i=0}^n A_{t_i}$$\mathcal{H}$, por hipótesis sobre$\omega$$\omega'$, lo $\mathcal{F}_t\subset \mathcal{H}$ por cada $t\le T(\omega)$ como aquellos establecidos generar $\mathcal{F}_t$ .

Ahora $T(\omega)$ es conocido y finito, tenemos :

-$S=T\vee T(\omega)$ es un tiempo de paro y, además, $S\in \mathcal{F}_{T(\omega)}\subset \mathcal{H}$ tenemos $S(\omega)=S(\omega')$, y por lo $T(\omega)\le T(\omega')$.

-En el otro y en el caso de $\{T<T(\omega)\}$ $\mathcal{F}_{T(\omega)}$ $T$ es un tiempo de paro por lo que es en $\mathcal{H}$, e $\omega\in \{T\le T(\omega)\}$$\omega'$, e $T(\omega')\le T(\omega)$.

Por último, hemos demostrado que $T(\omega)=T(\omega')$ $T(\omega)<\infty$ cual fue la afirmación de ser demostrado.

Saludos

PS : También tengo una solución de mina basado en una variante de Doob del lema, pero como es más largo, más técnica, y mucho menos elegante que este, yo no lo publiques aquí.