¿Es un polinomio?

Question

$$x^4 + x^3 + x + 1$$

Notar cómo me salté $x^2$. ¿"Polinomios" necesita tener una secuencia de exponentes que desde $1$ y vamos para arriba en $1$ y sólo $1$ cada vez? Gracias

Answer 1

Un polinomio es una suma del tipo

$$a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_n x^n.$$

Tomando $n=4$ y ajuste de los coeficientes en $a_0=1, a_1=1, a_2=0, a_3=1, a_4=1$, ¿qué quieres consiguen?

Answer 2

Que es de hecho un polinomio! Usted no necesita los exponentes creciente por $1$. Por ejemplo, $x^{100} + x^2 + 2$ es un polinomio. Por definición, cualquier función de $p(x)$ es un polinomio si se puede escribir en la forma:

$$p(x) = \sum_{k=0}^n c_kx^k = c_0 + c_1x + c_2x^2 + ... + c_nx^n$$

Donde el $c_k$'s son arbitrarias de elementos de un determinado anillo. Si usted no ha visto los anillos antes, no hay necesidad de quedar atrapados en demasiada teoría. Fuera de álgebra abstracta, el anillo es generalmente de los números enteros, los números racionales, los números reales o el de los números complejos. La razón específica de por qué los exponentes no necesita incrementar por $1$ cada vez es porque $0$ es un elemento de todos los anillos ($0$ es un número entero, racional, real, y número complejo). Por lo tanto, $c_k$ $0$ cualquier $k$.

Incluso si $c_k$ $0$ todos los $k$, $p(x)$ es todavía un polinomio! Algebraists a menudo llamada $p(x) = 0$ "cero polinomio".

---

Hay una última restricción: Para $p(x)$ a ser un polinomio, el $n$ $\displaystyle \sum_{k = 0}^n c_kx^k$ debe ser finito. De lo contrario, $\displaystyle \sum_{k=0}^\infty c_kx^k$ sería llamado el poder de la serie.

Answer 3

Sí es un polinomio. Cualquier número entero es un polinomio. Cualquier combinación de multiplcation/adición de números y variables será un polinomio.