Conciliar varias definiciones diferentes de medidas de radón

Question

Al revisar algunos conceptos básicos de análisis real me he encontrado con dos definiciones diferentes para el Radón medida. Deje el espacio subyacente $X$ ser localmente compacto y Hausdorff. Folland del Análisis Real se da la definición

Una de Radón medida es una medida de Borel que es finito en todos los conjuntos compactos, exterior, regular en los conjuntos de Borel, y el interior regular en bloques abiertos.

Folland va a demostrar que una medida de Radón es la interior regular en $\sigma$-finito de conjuntos, y de las observaciones de que el pleno interior de la regularidad es demasiado pedir, especialmente en el contexto de la representación de Riesz teorema de lineal positiva funcionales en $C_c(X)$. Folland del enfoque parece coincidir con el enfoque adoptado por Rudin, si mal no recuerdo.

Sin embargo, he oído hablar de los demás, así como la Wikipedia, que una medida de Radón se define como una medida de Borel que es localmente finito (lo que significa finito de conjuntos compactos para LCH espacios) e interior regular, y no hay mención de exterior regularidad.

Ni definición parece bien conectado con Bourbaki del enfoque de la definición de medidas de Radón como lineal positiva funcionales en $C_c(X)$, debido a que, al menos según el artículo de Wikipedia sobre la representación de Riesz teorema, una lineal positiva funcional en $C_c(X)$ corresponde de forma única a una regular Borel medida, que es más fuerte que el Radón en cualquiera de las dos definiciones dadas anteriormente.

Lamentablemente no tengo ningún tipo de análisis más avanzado tratados con el que comparar, así que tenía la esperanza de que alguien pudiera aclarar esta discrepancia.

Answer 1

Un ejemplo común es el dólar de los números de los tiempos de los reales con la topología discreta: $X = \mathbb{R} \times \mathbb{R}_d$.

Este es un localmente compacto metrizable espacio. El compacto de los subconjuntos se cruzan sólo un número finito de líneas horizontales y cada uno de los no-vacío intersecciones debe ser compacto. Un conjunto de Borel $E\subset X$ cruza cada segmento horizontal $E_y$ en un conjunto de Borel.

Considere la siguiente medida de Borel $\lambda$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$: $$ \mu(E) = \sum_{y} \lambda(E_y). $$ Esto es fácilmente controlado para definir un interior de Borel regular de la medida y de su nulo conjuntos son precisamente los conjuntos de Borel que se cruzan cada línea horizontal en un conjunto null. En particular, la diagonal $\Delta = \{(x,x) : x \in \mathbb{R}\}$ es un conjunto null. Sin embargo, cada conjunto abierto que contiene a $\Delta$ debe intersectar cada línea horizontal en un conjunto de medida positiva, por lo que debe tener medida infinita y, por tanto, $\mu$ no es exterior regular.

Ahora defina $\nu$ por la misma fórmula como $\mu$ si $E$ cruza sólo countably muchas líneas horizontales, y establecer $\nu(E) = \infty$ si $E$ se cruza con una cantidad no numerable de líneas horizontales. Ahora esta medida $\nu$ es interior regular en bloques abiertos y exterior regular en los conjuntos de Borel.

Finalmente, se puede comprobar que $\mu$ $\nu$ asignar la misma integral a compacta compatible funciones continuas en $X$.