¿Cómo demostrar este teorema extendido número primo?

Question

¿Un teorema del número primo generalizada?

Conjetura de

Que $n$ $k$ ser enteros positivos con $n - 50 > k^2 > 0$ y $n$ suficientemente grande. ¿Tendremos para los primos impares, cuando $p$ es el mayor % primer extraño $\le n$, $$ 3 ^ k + 5 ^ k + 7 ^ k + 11 ^ k +... + p ^ k \sim \frac{n^{k+1}}{(k+1) (\log(n) - \log(k))} $$ me pregunto si ustedes chicos han visto antes?

¿Cómo probarlo?

¿Toda referencia útil para $k > 1$?

Answer 1

Para $k<e^{c\sqrt{\log x}}$, usted puede probar que el anterior con parciales de suma junto con el teorema de los números primos, pero es demostrablemente falsa para $k\sim x^{u}$ cuando asumimos RH. Para una solución completa, echa un vistazo a esta última respuesta. Específicamente, puedo demostrar que $$\sum_{p\leq x}p^{k}=\text{li}\left(x^{k+1}\right)+O\left(x^{k+1}E(x)\right),$$ where $\texto{li}(x)=\int_2^x \frac{1}{\log t}dt$ is the logarithmic integral, and where $E(x)$ is any positive increasing function which bounds the error term $\pi(x)-\text{li}(x)$. This gives the asymptotic $$\sum_{p\leq x}p^{k}\sim \frac{x^{k+1}}{(k+1)\log x}$$ uniformely for all $k<e^{c\sqrt{\log x}}$, and if you use the Walfisz bound it can be taken slightly further to $e^{c(\log x)^{3/5}}$ con algunos doblemente logarítmica términos en el exponente.

Si se asume la Hipótesis de Riemann, esto muestra que sus expresiones no es la correcta para $k\approx x^u$ donde $0<u<1$. En RH tenemos que $E(x)\ll x^{\frac{1}{2}+\epsilon}$, y de modo asintótico tiene para todos los $k<x^{\frac{1}{2}-\epsilon}$. A continuación, para $k=x^u$ tenemos $\log x-\log k=(1-u)\log x$, lo que produce la asintótica $$(1-u)\frac{x^{k+1}}{(k+1)},$$ which is off by the constant factor $(1-u)$.

Puede haber una manera más sencilla de probar que su expresión es incorrecta para $k\sim x^u$ que no requieren de RH. Creo que hay que ser inteligente, aunque.

Espero que ayude,