Actualización: Eric Wofsey ha demostrado la conjetura en el conmutativa caso siguiente, y Tobias Kildetoft ha proporcionado una simple contraejemplo a la no-conmutativa reclamación.
Este sería el reemplazo para el habitual grupo de axiomas fue sugerido por el ##matemáticas canal IRC de usuario Aleric, y no se ha encontrado solución hasta el momento. En su forma original, la hipótesis se lee:
Deje $(S,+)$ ser un no-vacío conmutativa semigroup la satisfacción de las siguientes "reversibilidad" axioma: para todos los $x,y \in S$, existe un $z \in S$ tal que $$x + y + z = x.$$ Entonces existe una identidad, es decir, un elemento $0 \in S$ tal que $x + 0 = x$ todos los $x \in S$.
Por supuesto, si esto es cierto entonces que la identidad debe ser único, y $S$ se convierte en un grupo Abelian mediante la aplicación de la reversibilidad axioma $0,x$.
Supongo que uno podría fácilmente caer la conmutatividad de condición y formula un fuerte conjetura de la siguiente manera:
Deje $(S,\cdot)$ ser un no-vacío semigroup la satisfacción de las siguientes "reversibilidad" axioma: para todos los $x,y \in S$, $z,w \in S$ tal que $$xyz = wyx = x.$$ (En realidad, no es claro para mí si no deberíamos pedir un único elemento $z = w$ lugar.)
Entonces existe una identidad, es decir, un elemento $1 \in S$ tal que $x1 = 1x = x$ todos los $x \in S$.
De nuevo $S$ se convierte en un grupo mediante la aplicación de la reversibilidad axioma $1,x$.
He comprobado todos los conmutativa semigroups de orden $3$ e encontrado ninguno que cumple este axioma y no son grupos, pero esto no es muy satisfactorio. Estoy buscando una prueba de la conjetura o un contraejemplo.
