¿Es un conjunto de %#% puntos de #% que abarcan affinely $n+1$ mentira en una única $\mathbb{R}^n$-esfera?

Question

En $\mathbb{R}^2$ cada tres puntos no colineales mienten en un círculo único. Esto generalizar a dimensiones superiores de la siguiente manera:

Si $n+1$elemento subconjunto $S$ $\mathbb{R}^n$ no mentira en cualquier colector lineal (plana) de dimensión menor que $n$, entonces allí es una única $(n-1)$-esfera que contiene $S$.

Si no es así, entonces ¿cuál sería la adecuada generalización?

Answer 1

Sí, si el $n+1$ puntos están en posición general, lo que simplemente significa que el $n+1$ puntos no debe mentir en un hyperplane.

Se puede proceder por inducción: Si $x_0,\ldots, x_{n}$ nuestro $n+1$ puntos en posición general, ninguna de las $n$ de ellos, por ejemplo,$x_0,\ldots, x_{n-1}$, sin duda se encuentran en una común $(n-1)$-dimensiones hyperplane $H$. Podemos identificar a $H$ $\Bbb R^{n-1}$ y el aviso de que $x_0,\ldots, x_{n-1}$ están en posición general: Si estuvieran en una común $(n-2)$-dimensiones subespacio de $H$, $x_0,\ldots, x_n$ estaría en una $(n-1)$ dimensiones subespacio de $\Bbb R^n$. Por hipótesis de inducción, existe un único punto de $p\in H$ tal que $x_0,\ldots,x_{n-1}$ están en una sola esfera de radio conveniente alrededor de $p$. Deje $\ell$ el valor de la línea en $\Bbb R^n$ que es normal a $H$ y pasa a través de $p$. A continuación, $\ell$ es el lugar geométrico de todos los puntos que son equidistantes a todos los de $x_0,\ldots, x_{n-1}$. Deje $\ell'$ ser la línea a través de $x_n$$x_0$. Como $x_n\notin H$, $\ell'$ no es en $H$, por lo que su dirección no perpendicular a la de $\ell$. Deje $H'$ ser el hyperplane que divide $x_0x_n$. A continuación, $H'$ es perpendicular a $\ell'$, por lo que no es paralela a $\ell$. Llegamos a la conclusión de que $\ell$ intersecta $H'$ en uno y sólo un punto de $p'$. Como $H'$ es el lugar geométrico de los puntos equidistantes de $x_0$$x_n$, llegamos a la conclusión de que el lugar geométrico de los puntos equidistante de todos los puntos de $x_0,\ldots, x_n$ es, precisamente,$\{p'\}$. En otras palabras, no hay un único punto de $p'$ tal que $x_0,\ldots, x_n$ están en una esfera alrededor de la $p'$.

Answer 2

Hagen von Eitzen's respuesta da un teórico puro enfoque de este problema. Sin embargo, me gustaría exponer un constructiva y de cálculo camino para encontrar el radio y el centro de la $(n-1)$-esfera determinada por $n+1$ adecuado puntos en $\mathbb{R}^n$.

Deje $n$ ser un número entero mayor que $1$ y vamos a decir $x_i:=(x_{i,j})_{j\in\{1,\cdots,n\}},i\in\{0,\cdots,n\}$ $n+1$ puntos dados. Recordemos que la ecuación de una $(n-1)$-esfera está dado por: $$\sum_{j=1}^n(x_j-c_j)^2=r^2,$$ donde $c=(c_j)$ es su centro y $r$ de su radio. Por lo tanto, se tiene el siguiente sistema de $n+1$ ecuaciones: $$\forall i\in\{0,\cdots,n\},\sum_{j=1}^n(x_{i,j}-c_j)^2=r^2,$$ con $n+1$ indeterminates que son las $c_j$ $r^2$ (o $r$ si usted pregunta a $r>0$). Sin embargo, este sistema no es lineal, vamos a hacer el siguiente cambio de indeterminado: $$r^2\leftrightarrow r^2-\sum_{j=1}^n{c_j}^2=:u.$$ Por lo tanto, se tiene el siguiente sistema equivalente: $$\forall i\in\{0,\cdots,n\},2\sum_{j=1}^nx_{i,j}c_j+u=\sum_{j=1}^n{x_{i,j}}^2.$$ Dado que este sistema es lineal tiene una solución única si y sólo si el siguiente determinante es distinto de cero: $$\left|\begin{pmatrix}2x_{0,1}&2x_{0,2}&\cdots&2x_{0,n}&1\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\2x_{n,1}&2x_{n,2}&\cdots&2x_{n,n}&1\end{pmatrix}\right|.$$ Que es el caso si y sólo si el $x_i$s no se encuentran en cualquier afín hyperplane de $\mathbb{R}^n$.

Answer 3

¿Por qué no solo se aplica una inversión circular? Si tenemos $p_0,p_1,\ldots,p_n\in\mathbb{R}^n$ en posición general, podemos considerar como las imágenes de $q_1,q_2,\ldots,q_n$ bajo una inversión circular con respecto a una hiperesfera de unidad centrada en $p_1,p_2,\ldots,p_n$ $p_0$. Hay un hiperplano $\pi$ a través de $q_1,q_2,\ldots,q_n$, y aplicando la misma inversión circular a $\pi$ obtenemos una hiperesfera a través de $p_0,p_1,\ldots,p_n$.
La singularidad es fácil.