Número de clase de la medición de la insuficiencia de factorización única

Question

La declaración de que el número de clase de las medidas de la falla de el anillo de los enteros a ser una unidad flash usb es muy común en los libros. ufd iff número de clase 1. Esto inspira a la siguiente pregunta:

Hay una declaración cuantitativa de relacionar el número de clase de un campo de número de la insuficiencia de factorización única en la máxima orden distinto $h = 1$ ffi $R$ es una unidad flash usb?

En ¿qué sentido tiene una máxima orden de la clase número 3 "no más" a ser un ufd de la orden de número de la clase 2?

Es cierto que un número entero en un campo de mayor número de clase tendrá más de distintas representaciones como el producto de los elementos irreductibles de un entero en un campo con el menor número de clase?

Answer 1

Teorema (Carlitz, 1960): El anillo de los enteros de $\mathbb{Z}_F$ de un número algebraico de campo $F$ número de clase en la mayoría de los $2$ iff para todos los distinto de cero nonunits $x \in \mathbb{Z}_F$, cualquiera de los dos factorizations de $x$ en irreducibles tienen el mismo número de factores.

Una prueba de ello (y en 1990 una generalización de Valenza) se puede encontrar en $\S 22.3$ de mi álgebra conmutativa notas.

Este trabajo ha dado lugar a una gran cantidad de investigación por el anillo de los teóricos de la mitad-factorial dominios: estos son los anillos, en la que cada valor distinto de cero nonunit factores irreducibles y de tal manera que el número de factores irreducibles es independiente de la factorización.

Para ser honesto, creo que hay un montón de número de teóricos que pensar en el número de clase como una forma de medir el fracaso de factorización única que no saben Carlitz del teorema (o el que lo sabe pero no están pensando de la misma cuando se hacen ese tipo de declaración).

Aquí es otro intento [editar: esta es esencialmente la misma que la de Olivier respuesta, pero dicho de otra manera; creo que vale la pena tener ambos]: cuando tratamos de resolver ciertos Diophantine problemas (sobre los números enteros), a menudo se obtiene buenos resultados si el número de clase de un determinado campo de número es primo a una cierta cantidad. El ejemplo más famoso de esto es el Último Teorema de Fermat, que es fácil de probar por un extraño prime $p$ para que el número de clase de $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ es primo $p$: un, así llamado, "regular" prime.

Para que una aplicación Mordell ecuaciones $y^2 + k = x^3$, ver

http://math.uga.edu/~pete/4400MordellEquation.pdf

Ver especialmente el capítulo 4, donde la clase de los anillos "de número de la clase privilegiada a 3" se define axiomáticamente y aplicado a la Mordell ecuación. (N. B.: Estas notas están escritas para una avanzados de pregrado de primer año, estudiante de posgrado de la audiencia.)

El Mordell ecuación es probablemente una mejor ejemplo de la ecuación de Fermat porque:

(i) el argumento de la "regular" el caso más elemental de FLT en el caso habitual (el último es demasiado complicado para ser hecho en un primer curso), y

(ii) cuando la "regularidad" hipótesis se cae, no es sólo la más difícil de probar que no existen soluciones no triviales, es realmente muy a menudo falso!

Answer 2

Aquí es una respuesta parcial.

En un UFD, la siguiente declaración es verdadera : "un elemento es primo o usted puede escribir como un trivial producto". En un anillo de Dedekind con finito número de clase h, no es cierto, pero usted tiene los siguientes "cuantitativa" de la declaración : "un elemento es primo o puede escribir su h-ésima potencia como un trivial producto".

Answer 3

Para los dominios de Dedekind, como los enteros de un campo de número, PID iff UFD. Definitivamente hay un cuantitativa de la declaración relativa al número de clase de la falla de PIDness: cuanto mayor es el número de clase, menor es la densidad de la directora primer ideales entre el primer ideales; esto es sólo Cebotarev, más estándar de los hechos acerca de Hilbert campo de la clase.

Answer 4

Número de clase $h(K)$ es exactamente la medida cuantitativa de la falta de factorización única: por su definición mide "¿cuántas más ideas existen en comparación con los números".

Para aclarar: la descomposición es siempre única por los ideales, por lo que si la única ideales que tiene son los números (es decir, $h = 1$), entonces usted no tendrá ningún problema de la descomposición de números (EPI). Además, los más "restos" de los ideales que han ideal (grupo de clase), la más posibilidades de escritura de diferentes descomposiciones de números que existen.

Esta declaración vaga puede ser convertido en algunos de los precisos. Si usted tiene diferentes factorizations de la cantidad de $x$, esto significa que el primer ideales en la descomposición de $x = \mathfrak p_1\mathfrak p_2\dots\mathfrak p_n$ se agrupan de una manera diferente.Usted puede establecer a partir de aquí el límite en el número de posibles diferentes factorizations; puede ser (no estoy seguro aquí) puede ser demostrado no ser más de $C(h)$.

Otro teorema que sigue (mencionado por Olivier): $x^h$ debe de tener siempre una descomposición en cifras reales en lugar de los ideales. De hecho, $x^n = \mathfrak p_1^h\mathfrak p_2^h\dots\mathfrak p_n^h$ y usted necesita usar el hecho de que cualquier elemento $p$ en abelian grupo de tamaño $h$ tiene la propiedad $p^h = 1$.

Answer 5

Sé que llego tarde a la fiesta, pero me parece que las otras respuestas no responden directamente a la última parte de la pregunta:

Es cierto que un número entero en un campo de mayor número de clase tendrá más de distintas representaciones como el producto de los elementos irreductibles de un entero en un campo con el menor número de clase?

No. Por supuesto que no es necesariamente cierto que un entero dado en dos campos de $K_1 \cap K_2$ tendrá más distintos factorizations en $K_1$ de $K_2$ si $h(K_1) \ge h(K_2)$. Pero incluso en situaciones sencillas donde se podría esperar para que esto sea cierto, el opuesto comportamiento puede ocurrir.

En este papel, me dio una combinatoria expresión para el número $\eta(x)$ de distintas factorizations de $x \in \mathcal O_K$ ($K$ en un campo de número) en términos de los ideales de las clases de $\mathfrak p_i$ y los exponentes de $e_i$, donde $x \mathcal O_K$ ha el primer ideal de la factorización de $\prod \mathfrak p_i^{e_i}$. También hay una descripción precisa de la estructura de los distintos factorizations, lo que deja en claro que la estructura de los distintos factorizations puede complicarse más complicadas de los grupos de la clase. (En particular, puede utilizar esta descripción para obtener Carlitz del teorema y sus resultados.)

Pero, volviendo a tu pregunta, aquí hay un ejemplo donde se puede describir de $\eta(x)$, simplemente. Supongamos que $K$ es cuadrática, $x=p$ es racional primer y $\mathfrak p$ es el primer ideal de $\mathcal O_K$ arriba $p$, entonces para cualquier $n \in \mathbb N$,

$$ \eta(p^n) = \begin{casos} 1 & \mathfrak p \text{ director o $p$ ramifies} \\ \lfloor \frac nm \rfloor + 1 & \text{else}, \end{casos} $$

donde $m$ es del orden de $\mathfrak p$ en el grupo de clase.

En particular, supongamos $K_1$ y $K_2$ son cuadrática campos con los números de la clase 3 y 2, respectivamente, y $p$ es racional primer unramified en tanto $K_1$ y $K_2$. Deje que $\mathfrak p_1$ y $\mathfrak p_2$ ser primos de $K_1$ y $K_2$ arriba $p$. Entonces $p^n$ (por $n > 3$) tiene más distintos factorizations en $K_2$ (un número de clase 2 campo) de $K_1$ (una clase número 3 de campo) si y sólo si $\mathfrak p_2$ no es principal.