¿Qué representa el área?

Question

Desde cualquiera de los dos Euclidiana formas tienen un número infinito de puntos dentro de ellos, las formas diferentes de la zona tienen el mismo número infinito de puntos en ellos (y cualquier objeto tiene el mismo número de puntos en la misma como son el interior de la nave es en el interior). Así que el área no es una medida de la cantidad de puntos en un objeto, ¿verdad? Y si esto es cierto, ¿qué hace el área de una forma realmente representan? En otras palabras, más allá de la idea abstracta de la cantidad de espacio en un objeto, lo que hace una superficie de, por ejemplo, $4$, quiere decir?

Answer 1

Área (en $\mathbb R^2$) se inicia con el acuerdo de que el área de un rectángulo de lados a $a$ $b$ tiene área igual a $a\cdot b$. Usted puede tomar esto como un axioma. Ahora, la zona de las formas más complicadas es obtenido mediante la aproximación de la forma de rectángulos. Esto puede ser hecho de diferentes maneras y hay un montón de cosas para probar aquí, así como algunas sorpresas. Por ejemplo, uno puede aproximarse a una forma dada desde el exterior: cubierta por countably muchos distintos rectángulos, y añadir sus áreas. Tomar el infimum sobre tales cubre, y que le dará una medida del área de la forma medidos desde el exterior. Del mismo modo, usted se puede inscribir en rectángulos dentro de la forma, añadir sus áreas, y tomar el supremum sobre todos esos números. Esto le dará una medida del área de la forma medido desde el interior.

Tu pregunta es un preludio de la teoría de la medida, una parte muy importante del análisis moderno. Una de las grandes sorpresas es que el concepto de área (e incluso el concepto de longitud) no puede ser ampliado sensiblemente a medida de todos los subconjuntos del plano (en línea). Un ejemplo famoso es Vitali del Conjunto. Así, la teoría resultante es bastante sutil.

Answer 2

Le dice que podría cubrir la región con 4 $1\times 1$ plazas. Si es una forma extraña, sería más informativo decir que si se corta material y un $1\times 1$ cuadrada de que el material pesa 1 onza, entonces la forma que usted recortar pesaría 4 onzas.

Answer 3

Sí, la zona no es una medida de la cantidad de puntos de un objeto. Una medida positiva P de un objeto J implica que J puede obtener subdivide en partes, puesto que P se compone de un número real positivo y para todos los números positivos, existe un número real X tal que (X+X)=P. Un punto T se compone de algo que no tiene ninguna parte, haciendo subdivisión en partes imposible y por lo tanto T tiene medida cero.

El área de una figura que representa la cantidad de espacio de 2 dimensiones objeto en un plano 2-dimensional.