Monotonía de funciones

Question

Que $f(x) = xe^{x^2} + e^{-x^2}$

Me gustaría probar que esta función aumenta monótonamente en el intervalo de $(0,1)$.

Pude hacerlo tomando el derivado y demostrando que era mayor que cero. (aunque me llevó bastante tiempo hacerlo)

Quería saber si había cualquier otro método más elegante para hacer lo mismo.

Answer 1

La derivada es fácil de calcular, realmente, suponiendo que no cagarla! Usando una obvia abreviatura, es

$$(1+2x^2)e^+-2xe^- > (1-2x+2x^2)e^+ =\left (2\left(x-\frac 1 2\right)^2 + \frac 1 2\right)e^+ > 0$$

Answer 2

$$g:(0,1)\rightarrow (1,e), x\mapsto e^x, \forall x,y\in(0,1), x<y \Rightarrow g(x)<g(y)$$

$$h:(0,1)\rightarrow (0,1), x\mapsto x^2, \forall x,y\in(0,1), x<y \Rightarrow h(x)<h(y)$$

$$g\circ h:(0,1)\rightarrow (1,e), x\mapsto e^{x^2}, \forall x,y\in(0,1), x<y \Rightarrow g(h(x))<g(h(y))$$

$$j:(1,e)\rightarrow \left(1,{1\over e}\right), x\mapsto {1\over x}, \forall x,y\in(0,1), x<y \Rightarrow j(x)>j(y)$$

$$j\circ g \circ h:(0,1)\rightarrow \left(1,{1\over e}\right), x\mapsto {1\over e^{x^2}}, \forall x,y\in(0,1), x<y \Rightarrow j(g(h(x)))>j(g(h(y)))$$

Que $u(x)$ ser una función Monótonamente creciente $$p:(0,1)\rightarrow (0,e), x\mapsto x \cdot u(x), \forall x,y\in(0,1), x<y \Rightarrow p(x)<p(y)$ $ con $u(x)=g \circ h$ $$p:(0,1)\rightarrow (0,e), x\mapsto x \cdot g(h(x)),$$ That is $% $$p:(0,1)\rightarrow (0,e), x\mapsto xe^{x^2}, \forall x,y\in(0,1), x<y \Rightarrow p(x)<p(y)$$g\circ h$aumento a la misma velocidad que la disminución de $j\circ g \circ h$, $xe^{x^2}$ está aumentando más rápidamente que la disminución del $e^{-x^2}$.

CONCLUSIÓN: $f(x)=xe^{x^2}+e^{-x^2}$ aumenta monotically.