Un subgrupo paramétrico que sale de todo conjunto compacto es un mapa propio

Question

Si un subgrupo de un parámetro $\phi:\mathbb{R}\rightarrow G$ de un grupo de Lie $G$ vuelve infinitamente a un conjunto compacto $K$ ¿se encuentra todo en un conjunto compacto?

Creo que $\phi(\mathbb{R})K\subset G$ debería ser compacto, pero no he podido probarlo.

Answer 1

La respuesta a su pregunta es positiva.

1. Supongamos que $H$ es un subgrupo abeliano de un grupo de Lie $G$ entonces el cierre $\bar{H}$ de $H$ en $G$ es un subgrupo abeliano conectado de Lie de $G$ en particular, está debidamente integrado en $G$ . (Ver el teorema del subgrupo cerrado .) Esto se aplica en su caso, tomando $H=\phi(R)$ .

2. La parte 1 reduce el problema al caso de subgrupos de 1 parámetro $H$ de grupos abelianos conectados de Lie $G$ . Este grupo $G$ es el cociente de un grupo simplemente conectado e isomorfo a $R^n$ por un subgrupo discreto isomorfo a $Z^k, k\le n$ . El subgrupo de 1 parámetro $H$ se eleva a un subgrupo de 1 parámetro $L\subset R^n$ . Si $L$ no está contenida en el tramo lineal de $Z^k$ en $R^n$ entonces $L$ se proyecta a un subgrupo de $G$ (isomorfo a $R$ ). Si $L$ está contenida en el tramo lineal $R^k$ de $Z^k$ entonces $H$ está contenido en el subgrupo compacto $R^k/Z^k=T^k$ de $G$ . qed