¿Una explicación de los armónicos esféricos?

Question

¿Podría alguien explicar los armónicos esféricos de una manera más sencilla de lo que se demuestra en varios sitios web (como la página de Wikipedia que simplemente desborda mi buffer con símbolos). He intentado buscar en math.SE algo de información al respecto, pero la mayoría de las veces sólo se utiliza en las explicaciones de otras cosas. Estoy familiarizado con el cálculo y las coordenadas esféricas.

¿Algún razonamiento de por qué surgió? Cómo funciona, etc.

Answer 1

Consideremos la ecuación de Laplace en un espacio tridimensional, $$\nabla^2 V({\bf r}) = 0.$$ Una función de este tipo se llama armónica. Las funciones armónicas describen una multitud de objetos físicos, normalmente llamados potenciales. Existen, por ejemplo, potenciales gravitatorios, eléctricos y de fluidos. Además, la ecuación de Laplace se utiliza para estudiar la ecuación del calor en estado estacionario.

Centrémonos en el potencial gravitatorio. Si podemos calcular la solución de la ecuación de Laplace obedeciendo las condiciones de contorno apropiadas, podemos utilizar esta información para encontrar la fuerza que actúa sobre una partícula de prueba y así determinar su trayectoria. Si el objeto en cuestión es aproximadamente esférico (la Tierra, por ejemplo), es conveniente utilizar coordenadas esféricas: queremos resolver la ecuación de Laplace, es decir, encontrar armónico funciones, en esférico coordenadas. Resulta que tales soluciones se convierten naturalmente en un factor de $r$ -y una parte que depende de $\theta$ y $\phi$ . Esto conduce a una expansión de nuestra solución en términos de una colección de soluciones básicas, llamadas funciones propias. Esto es análogo a la expansión de una función en términos de una serie de Fourier. Las funciones propias de la parte esférica del operador de Laplace son simplemente los armónicos esféricos. Los armónicos esféricos forman naturalmente una base completa, contable y ortonormal para las funciones en $(\theta,\phi)$ .

Si nos interesa la solución para puntos que no están dentro de la tierra (por ejemplo, la ubicación de un satélite) y exigimos que el potencial en el infinito desaparezca encontramos $$\begin{eqnarray} V({\bf r}) &=& \sum_{l=0}^\infty\sum_{m=-l}^l \frac{1}{r^{l+1}} a_{lm} Y_l^m(\theta,\phi) \\ &=& \frac{1}{r} a_{00} Y_0^0 + \frac{1}{r^2} \sum_{m=-1}^1 a_{1m} Y_1^m(\theta,\phi) + \frac{1}{r^3} \sum_{m=-2}^2 a_{1m} Y_2^m(\theta,\phi) + \ldots . \end{eqnarray}$$ Se puede reconocer que el primer término tiene la forma correcta para el potencial de una masa puntual ( $Y_0^0 = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{\pi}}$ es constante). De hecho, $a_{00} Y_0^0 = -G M$ , donde $M$ es la masa de la tierra. Los términos de orden superior nos dicen cuánto se desvía el potencial de la tierra del de una masa puntual. El segundo término, el dipolo, desaparece para la gravedad. El tercer término, el cuadrupolo, no desaparece. Da la primera desviación medible del potencial con respecto al de una masa puntual. Los cinco términos que implican los armónicos esféricos $Y_2^m$ para $m=-2,\ldots,2$ codifican la variación angular más importante del potencial de la tierra. Los armónicos esféricos para $m\ne 0$ tienen dependencia azimutal (es decir, dependencia de $\phi$ ). Dado que la tierra es oblata y no tiene prácticamente ninguna variación azimutal, encontramos que el término más importante en el cuadrupolo se debe a $Y_2^0(\theta,\phi) = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{5}{\pi}} (3\cos^2\theta -1)$ . Incluso podemos deducir de la forma de $Y_2^0$ que el signo de $a_{20}$ es positivo ya que la magnitud del potencial debe ser mayor en el ecuador y $a_{00}$ es negativo. Para codificar mejor la irregularidad de la tierra en cuanto a densidad y forma, necesitaríamos armónicos más altos.

Los coeficientes de la serie para $V({\bf r})$ puede calcularse utilizando la ortonormalidad de los armónicos esféricos. Esto es exactamente como obtener los coeficientes de una serie de Fourier. Encontramos $$a_{lm} = R_0^{l+1} \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin\theta \ d\theta\ V(R_0,\theta,\phi) {Y_l^m}^*(\theta,\phi)$$ donde ${}^*$ indica la conjugación compleja y donde $R_0$ es algún radio de referencia, mayor que el radio de la tierra, en el que se conoce el potencial.

Answer 2

Si tienes algún tipo de formación en física, te recomiendo encarecidamente que cojas un libro sencillo sobre mecánica cuántica o electromagnetismo, como "Introducción a la mecánica cuántica" de Griffiths. Incluso si no tienes formación en física, te ayudará mirar cualquier libro de texto decente sobre métodos matemáticos, como "Mathematical Methods in the Physical Sciences" de Boas. En este libro no se presupone ninguna formación en física. Hay numerosas interpretaciones de los armónicos esféricos y creo que te beneficiará verlos en acción en el contexto de los problemas de las ciencias físicas.