¿Podemos concluir $\prod_{\kappa \in Crd, \kappa=1}^{\kappa<\aleph_\alpha}\kappa=2^{\aleph_\alpha}$ en ZFC?

Question

En análisis complejo, hay una función llamada la función Gamma de Euler. Cada vez que dado un número entero positivo $n+1$, devuelve $n!=\prod_{i=1}^{i < n+1}i$.

No estoy seguro si hay una función similar para los cardenales infinitos que
$$\Gamma(\aleph_\alpha)=\prod_{\kappa \in Crd, \kappa=1}^{\kappa<\aleph_\alpha}\kappa$ $, pero al menos podemos evaluar el valor de esa producción.

¿Así que mi pregunta: es $\prod_{\kappa \in Crd, \kappa=1}^{\kappa<\aleph_\alpha}\kappa=2^{\aleph_\alpha}$?

Answer 1

El estudio de los infinitos productos es muy sutil en general. El "factorial" está razonablemente bien entendido. En 1925, Tarski demostró que $\prod_{\xi<\beta}\aleph_\xi=(\aleph_{\bigcup \beta})^{|\bigcup\beta|}$ (para más detalles, vea este post en el blog de la mina). Desde $\prod_{n\in\omega}n=2^{\aleph_0}$, obtenemos que $$ \Gamma(\aleph_\alpha)=2^{\aleph_0}\prod_{\xi<\alpha}\aleph_\xi=2^{\aleph_0}(\aleph_{\bigcup\alpha})^{|\bigcup\alpha|}. $$ (Si esto es o no es $\beth_\alpha$ es independiente de $\mathsf{ZFC}$ en general, y claramente depende del tamaño de las dos potencias que aparecen en esta muestra de expresión. Como se sugiere en los comentarios, puede ser vale la pena señalar que, por ejemplo, si $\alpha=\tau+1$ donde $\tau$ es una contables sucesor ordinal y $2^{\aleph_0}<\aleph_\tau$,$\Gamma(\aleph_\alpha)=2^{\aleph_0}\aleph_\tau^{|\tau|}=\aleph_\tau^{\aleph_0}=\aleph_\tau<2^{\aleph_\tau}\le2^{\aleph_\alpha}$.)

Answer 2

(Nota: esta respuesta fue dada a una revisión previa de la pregunta)

Desde luego, no. Considerar un modelo de $\sf ZFC$ tales que para cada contable % ordinal, $2^{\aleph_\alpha}=\aleph_{\omega_1+1}=\beth_1$.

Que $\alpha$ ser un ordinal contable y considera el, $$\prod_{\beta<\alpha}\aleph_\beta\leq\prod_{\beta<\alpha}\aleph_\alpha = \aleph_\alpha^{\aleph_\alpha}=2^{\aleph_\alpha}=\beth_1\ll\beth_\alpha.$ $