$\renewcommand{\ket}[1]{\left \lvert #1 \right \rangle}$ Considere una cadena de longitud $L$ bajo tensión y se sujeta cada extremo. Este sistema es descrito por la ecuación de onda y tiene un conjunto de modos. El $n^\text{th}$ tiene un perfil espacial $$\phi_n(x) = \sin(n \pi x / L)$$ y frecuencia $\omega_n$. En otras palabras, si sólo el $n^\text{th}$ modo está entusiasmado, depende del tiempo de desplazamiento de la cuerda es $$y(x,t) = A \cos(\omega_n t) \sin(n \pi x / L)$$ para algunos de amplitud $A$.$^{[a]}$ De hecho, la dinámica de cada modo es exactamente la de un oscilador armónico con frecuencia $\omega_n$.
Asimismo, el tratamiento de la cadena de modo de modo que cuando hacemos la mecánica cuántica. Cada modo puede tener un número entero de excitaciones. Si el $n^\text{th}$ modo $m$ excitaciones, decimos que es "$m^\text{th}$ Fock estado" y denota $\ket{m_n}$. Este es el llamado "segundo cuantificada" lenguaje donde el estado de la cadena se escribe como $$\ket{m_0}\otimes \ket{m_1} \otimes \ket{m_2} \otimes \ldots = \ket{m_0 m_1 m_2 \ldots} \, .$$
Cada Fock estado tiene asociada una función de onda. Por ejemplo, si el modo es en $\ket{0}$, luego de que modo tiene una distribución de probabilidad Gaussiana sus cuadraturas. Este Guassian de la función de onda es completamente diferente desde el perfil espacial de la modalidad de $\phi_n(x)$.
Ahora considere la posibilidad de un infinito plaza. Este sistema dispone de varios estados propios que podemos etiquetar $\ket{\text{I}}$, $\ket{\text{II}}$, etc. Si sólo tenemos una sola partícula por lo general acaba de describir el sistema diciendo que eigenstate, o superposición de estados propios, la partícula está en. Cada uno de estos eignestates tiene asociada una función de onda, es decir,$\langle x|\text{III}\rangle = \phi_\text{III}(x)$. Estas funciones de onda nos dicen, entre otras cosas, la distribución de probabilidad de una sola posición de la partícula.
Con múltiples partículas, aprendemos a expresar el total del estado, especificando cuál es el estado de cada partícula. Por ejemplo, si la primera partícula se en $\ket{\text{I}}$ y la segunda es en $\ket{\text{III}}$, te gustaría escribir $$\ket{\Psi} = \ket{\text{I}} \otimes \ket{\text{III}} \, .$$ Por supuesto, ya que las partículas de un solo tipo son indistinguibles tenemos que symmetrize o antisymmetrize este estado. Es más fácil, aunque, a sólo usar la segunda cuantización y escribir $$\ket{\Psi} = \ket{101}$$ lo cual significa que hay una excitación en el primer estado, y una excitación en el tercer estado.
Observar que ahora lo que se llama "autoestados" para la partícula en la plaza también parecen jugar el papel de lo que hemos llamado "modos" en el caso de la cuantizado de cuerda en vibración. Tal vez esto no es de extrañar: podemos imaginar que hay un campo cuántico en el interior de la plaza de bien y de que el campo ha modos como una cuerda en vibración. En esta imagen, lo que normalmente pensamos que la partícula funciones de onda son como los modos de vibración de la cuerda. En esta foto es natural decir que cada modo puede ser excitado por una, dos, tres... quanta, que es lo mismo que decir que uno, dos, tres... las partículas pueden estar en cada partícula del estado. En otras palabras, cada modo puede ser en cualquiera de las diferentes Fock estados.
Sin embargo, si tomamos esta perspectiva, entonces esperamos que cada uno de los modos de Fock, los estados deben tener asociadas las funciones de onda.$^{[b]}$ Por ejemplo, si tenemos el estado de $\ket{0000\ldots}$, en la plaza, bien, entonces estamos diciendo que cada uno de los modos de la plaza también tiene una amplitud que es Gaussiano distribuido.
En el caso de la cadena, cada modo de tener un estado con Gaussiano distribuido amplitud significa que si se mide el desplazamiento de la cuerda no siempre se obtiene cero. Este es el llamado "punto cero de movimiento". ¿Qué significa para un modo particular de partículas en una infinita plaza bien para tener un estado de Fock $\ket{0}$, con una función Gaussiana de la onda? Ingenuamente esto significa que, incluso sin partículas en el bien, no es distinto de cero probabilidad de que la medición de un valor distinto de cero el desplazamiento de la partícula cuántica de campos. ¿Qué significa esto?
$[a]$: Estamos ignorando la fase de aquí.
$[b]$: Es cada vez más claro para mí que el término "estado" está sobrecargado. Lo que nosotros llamamos "la partícula de estados unidos" debería ser llamado "modos", y el término "estado" debe ser reservada para los diversos Fock los estados de cada uno de los modos, o para el total del estado del sistema que es una superposición de tensor de productos de Fock de los estados.
