Cuando es un local homeomorphism una cubierta mapa?

Question

si $X$ y $Y$ son espacios de Hausdorff, $f:X \a Y$ es un local homeomorphism, $X$ es compacto, y $Y$ se conecta, es de $f$ un cubriendo mapa?

Parece ser, y casi tengo una prueba, pero estoy atascado en el final de la misma:

Ya he demostrado que $f$ es surjective (utilizando la conexión), y que por cada $y \in S$, $f^{-1}(y)$ es finito. Debido a que $X$ es compacto, existe un número finito de apertura de la tapa de $X$ en $ \{ U_i \}$ tal que $f(U_i)$ es abierto y $f |_{U_i}:U_i \a f(U_i) $ es un homeomorphism.
Por cada $y \in S$, podemos elegir el subconjunto de $ \lbrace U_{i_j} \rbrace $ tales que $y \U_{i_j}$ y, a continuación, definir $V = \bigcap_{j=1}^k f(U_{i_j})$, y $U'_j = U_{i_j} \bigcap f^{-1}(V)$.

... y aquí es donde me quedé atrapado. Realmente quiero escribir que $f^{-1}(V) = \bigcup_{j=1}^k U'_j$ (más o menos demostrando que es una cubierta mapa), pero no puedo justificar que, y de hecho creo que no es cierto. Creo que voy a necesitar un extra de paso, y para tomar un aún más pequeño vecindario de $y$, con el fin de asegurarse de que los juegos extra de $ \lbrace U_i \rbrace $ no colarse en $f^{-1}(V)$.

Cualquier ayuda sería muy apreciada como ya he pasado varias horas trabajando en este problema.

Answer 1

Para $y \in S$, deje que $\{x_1, \dots, x_n\}= f^{-1}(y)$ (la $x_i$ todo ser diferentes puntos). Elegir pares distintos barrios de $U_1, \dots, U_n$ de $x_1, \dots, x_n$, respectivamente (utilizando la propiedad de Hausdorff).

Por la reducción de los $U_i$ además, podemos suponer que cada uno se asigna homeomorphically en un barrio $V_i$ de $y$.

Ahora vamos a $C = X \setminus (U_1 \cup \dots \copa U_n)$ y $$V = (V_1 \cap \dots \cap V_n)\setminus f(C)$$

Si no me equivoco esta $V$ debe ser uniformemente cubierto nbh de $y$.

Answer 2

Aquí es una solución completa, dijo de forma ligeramente distinta, pero con el mismo espíritu que, Sam's solución.

1. Demostrar que $f$ es surjective. Utilizamos el hecho de que la $$ Y está conectado y Hausdorff. Local homeomorphisms están abiertas, por lo que $U=f(X)$ es un subconjunto abierto de $Y$. Dado que $X$ es compacto, $f(X)$ es compacto, y $Y$ Hausdorff implica que compacta los subconjuntos cerrados. Así, $V=Y\setminus f(X)$ es también abierto. Si $f$ no fueron surjective, entonces $V\neq \emptyset$, y $U,V$ sería la separación de conjuntos para $Y$, contradiciendo la conectividad de $Y$. Llegamos a la conclusión de que $f$ es surjective.

2. Por cada $y\in S$, $f^{-1}(y)$ es finito. Utilizando de nuevo $Y$ Hausdorff, $\{y\}$ es cerrado, por lo que $f^{-1}(y)$ es un subconjunto cerrado del espacio compacto de $X$, por lo tanto compacto. Para cada $x\in f^{-1}(y)$, vamos a $U_x$ ser un barrio de $x$, donde $f$ restringe a un homeomorphism. Estos barrios existen por la suposición de que $f$ es un local homeomorphism. Entonces $\{U_x : x\in f^{-1}(x)\}$ es una cubierta abierta de $f^{-1}(y)$, por lo tanto, tiene un número finito de subcover que nos etiqueta $\{U_i\}_{i=1}^n$. El mapa de $f$ es inyectiva en cada $U_i$, por lo que solo contiene una pre-imagen de $y$. Por lo tanto $$ y tiene un número finito de pre-imágenes en $X$.

3. Obtener un uniformemente cubierto barrio de $y$. Manteniendo la cubierta $\{U_i\}$ en el paso anterior, $V = \bigcap_{i=1}^n{f(U_i)}$ es un barrio abierto de $y$. Entonces $\{f^{-1}(V)\cap U_i\}$ es un discontinuo de la colección de abrir barrios, cada uno homeomórficos $V$ bajo $f$ dado que la restricción de un homeomorphism a un subespacio es un homeomorphism. Por lo tanto, $V$ es uniformemente cubierto barrio de $y$.

Por lo tanto, $f$ es una cubierta mapa.

Answer 3

cp. Fulton, Topología Algebraica, la Proposición 19.3, p.266. Él utiliza la compacidad de X. Pero un problema en la John Lee el libro de Introducción a la Topológico de los Colectores es este (Problema 11-9): Demostrar que una adecuada local homeomorphism entre conectada localmente trayectoria-conectado, de manera compacta, genera espacios de Hausdorff es una cubierta mapa.