Cómo diagonalize esta matriz?

Question

Considere la posibilidad de la $n\times m$ matriz $M=[M_1, \ldots, M_m]$ cuando la $i$-ésima columna lee

$$ M_i= \,^t(\underbrace{1,\ldots,1}_{a_i},0,\ldots,0) $$ donde el $a_i$'s se dan positivo números naturales.

Es posible calcular los valores propios de a $M$ en términos de la $a_i$'s ?

Tal vez es más sencillo si uno elija la $a_i$'s no decreciente.

Estoy interesado en este problema, ya que de alguna manera generalizar el caso de que $n=m$ $a_i=n$ todos los $i=1,\ldots,n$, y para el que los valores propios son $0$ con multiplicidad $n-1$ $n^2$ con multiplicidad $1$. Esto proviene de un fácil núcleo más del tamaño de seguimiento argumento. Y me preguntaba si podría aplicarse a este caso general, pero no tuve éxito ...

Answer 1

Desde ahora estamos preguntando acerca de los valores singulares, la organización de las columnas para no decreciente $a_i$ es, sin pérdida de generalidad. Una permutación de las columnas no afecta a una matriz singular de valores.

Considere la posibilidad de $A = M'M$, una simétrica positiva semi-definida la matriz, cuyos autovalores son los cuadrados de los valores propios de $M$. $A$ es una estructura de la matriz de con $A_{ij} = \min \{a_i,a_j\} = a_{\min \{i,j\} }$.

El nonsingular caso de ($n \times n$ matriz, estrictamente creciente $a_i = i$) está incluido en un "caso de prueba galería" minij en MatLab y otras suites. De acuerdo a los comentarios en esta prueba el código C, los autovalores de a $A$ tiene una fórmula explícita:

$$ \frac{0.5}{ 1 - \cos \left( \frac{( 2k - 1 )\pi}{ 2n + 1 } \right) } \;\; \forall \; 1 \le k \le n $$

Accordingly the singular values of $M$ should be the respective square roots of those. For $n=2$ we get singular values $\varphi = 1.61803\ldots$ and $\varphi - 1 = 0.61803\ldots$ as a perhaps lucky connection to the golden ratio.

A similarly simple expression for singular values of the singular cases seems a daunting challenge, if only because of the large number of possibilities. However the rank of $M$ (resp. of $$) can be found by counting the number of columns containing a "leading one", since removing duplicate rows puts $M$ in row-echelon form (due to column sorting). Therefore the nullity (dimension of nullspace) of $M$ es fácil de encontrar, o en otras palabras, el recuento de los valores singulares que son cero.