Número de Homomorphisms de $\Bbb{Z}_m$ $\Bbb{Z}_n$

Question

Esta pregunta coutesy de Allan Clark "Elementos de Álgebra Abstracta" (60$\zeta$).

Encontrar el número de homomorphisms de $\Bbb{Z}_m\to \Bbb{Z}_n$ como una función de la $m$$n$.

Este es haciendo campaña en mí, alguien puede ayudar?

Answer 1

En general, si $G$ es cualquier grupo, entonces usted puede demostrar que el número de homomorphisms $\mathbb{Z}_m \rightarrow G$ es el número de soluciones a$x^m = 1$$G$. Cuántas soluciones hay para $x^m = 1$$\mathbb{Z}_n$?

Answer 2

SUGERENCIA: Si $h:\Bbb Z_m\to\Bbb Z_n$ es un homomorphism, $\big|h[\Bbb Z_m]\big|\cdot|\ker h|=m$, e $\big|h[\Bbb Z_m]\big|$ divide $n$.

Answer 3

No estoy seguro de si esta es la manera correcta de ir, pero se ven bien para mí, por lo tanto, estoy compartiendo.

Deje $f$ ser el homomorphism de $Z_{m} \to Z_{n}$

Desde $O(f([1]_{n})) \space | \space O(Z_{n}) \implies O(f([1]_{n})) \space | \space n$

También se $O(f([1]_{n})) \space | \space m $

Por lo tanto el número de homomorphism = $gcd(n, m)$