Es $f(x)=x|x|$ diferenciable en todas partes?

Question

Al $f$ es una función de $\mathbf{R}$$R$. Sé que $\lim_{x \to 0+}\frac{f(x)-f(0)}{x 0}= \lim_{x \to 0+}\frac{x^2}{x}=0$ and $\lim_{x \to 0-}\frac{f(x)-f(0)}{x 0}= \lim_{x \to 0-}\frac {x^2}{x}=0$, but $|x|$ no es diferenciable en todas partes, así que me voy a dudar de mí.

Answer 1

Sí, es diferenciable en todas partes, pero no tiene una segunda derivada en $x=0$.

Una forma de ver esto es utilizar el equivalente a la definición de

$$f(x) = \begin{cases} x^2, & x\ge 0 \\[2ex] -x^2, & x< 0 \\ \end{casos}$$

La derivada de cada pieza (el límite en la pieza izquierda) a/se aproxima $x=0$ es cero, de modo que la derivada en $x=0$ es efectivamente cero. Este gráfico debe mostrar que la primera derivada se define como cero en$x=0$, pero la segunda derivada no está definida allí.

Answer 2

Debe quedar claro que $f$ es diferenciable para $x\neq 0$.

Para $x=0$, tenemos $\lim_{x \to 0} { f(x)-f(0) \over x-0} = \lim_{x \to 0} |x| = 0$, por lo tanto $f$ es diferenciable en a $x=0$ con derivados cero.