¿Es correcto este argumento de arranque?

Question

El montaje. Supongamos que $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ acotado y equivalente a la unidad del cubo y tiene una frontera suave. Sea $v \in W^{1,2}(\Omega,\mathbb{C})$ sea una solución débil de $$ \begin{cases} -\Delta v = g & \text{in } \Omega \\ v=0 & \text{on } \partial \Omega\end{cases} \tag{1}$$

Ahora supongamos que podemos demostrar que $g \in L^{12/11}(\Omega)$ . De la teoría elíptica estándar (teorema 7.4 de la introducción a los sistemas elípticos de Giaquinta) podemos deducir que $v \in W^{2,12/11}(\Omega)$ .

El problema. Ahora, incluso sé que $D g (:=\nabla g) \in L^{12/11}(\Omega)$ y quiere deducir que $v \in W^{3,12/11}$ y quiero utilizar un argumento de arranque para hacerlo.

Mi intento. Desde $v$ es una solución débil de (1) sabemos que $$ \int_\Omega Dv Dw = \int_\Omega g w $$ para todos $w \in H_0^1(\Omega)$ .

Elegimos dicha función de prueba $w \in C_c^\infty(\Omega)$ y establecer $$ u:=-Dw.$$

Inserción de $u$ para $w$ en la ecuación anterior, obtenemos $$ -\int_\Omega DvD^2w = -\int_\Omega gDw. $$ La integración por partes da como resultado $$ \int_\Omega D^2 v Dw = \int_\Omega Dg w. $$

Esto significa que $\widetilde v = Dv$ también es la solución débil de $$ \begin{cases} -\Delta \widetilde v = Dg & \text{in } \Omega \end{cases} $$

La pregunta. ¿Cómo se puede concluir entonces que $\widetilde v = Dv \in W^{2,12/11}(\Omega)$ ? Tenga en cuenta que ya no tenemos condiciones de contorno. ¿Sería más fácil retirarse a un subconjunto abierto $U \subset \Omega$ ? ¿Cómo sería ese argumento exacto?

Answer 1

Según tengo entendido, la pregunta es: Si $g\in W^{1,p}(\Omega)$ podemos demostrar que $v\in W^{3,p}(\Omega)$ , donde $1<p<\infty$ ?

Para responder a esto permítanme primero suponer que el límite de $\Omega$ es suave. Los límites no lisos se discutirán más adelante.

Comenzamos considerando una secuencia $\{g_n\}\subset C^\infty(\bar\Omega)$ de funciones suaves, que convergen a $g$ en $W^{1,p}$ y resolver $$ \Delta v_n = g_n\quad\textrm{in }\Omega, \qquad v_n=0\quad\textrm{on }\partial\Omega. $$ Porque $g_n$ son suaves, por ejemplo $L^2$ teoría toda $v_n$ son suaves. Además, como ha mencionado, la base $L^p$ la teoría da la estimación $$ \|v_n\|_{W^{2,p}} \leq c\|g_n\|_{L^p}.\qquad\qquad(*) $$ Recordemos también la estimación $$ \|u\|_{W^{k,p}} \leq c\|\Delta u\|_{W^{k-2,p}} + c\|u\|_{W^{k,p}(\partial\Omega)} + c\|u\|_{L^p},\qquad\qquad(**) $$ que es cierto para cualquier $u\in W^{k,p}(\Omega)$ con $k\geq2$ y $1<p<\infty$ . Aplicando esta estimación a $v_n$ tenemos $$ \|v_n\|_{W^{3,p}} \leq c\|g_n\|_{W^{1,p}} + c\|v_n\|_{L^p} \leq c\|g_n\|_{W^{1,p}}. $$ Así que $v_n$ están uniformemente acotados en $W^{3,p}$ , lo que significa que hay $w\in W^{3,p}(\Omega)$ tal que $v_n\to w$ débilmente en $W^{3,p}$ y por compacidad, fuertemente en $W^{2,p}$ . Esto implica que $\Delta w = g$ en $\Omega$ porque $$ \|\Delta w - g\|_{L^p} \leq \|\Delta(w-v_n)\|_{L^p} + \|g_n-g\|_{L^p} \leq \|w-v_n\|_{W^{2,p}} + \|g_n-g\|_{L^p}. $$ Rastro de $w$ en $\partial\Omega$ es cero porque la traza se preserva bajo convergencia débil (o si se quiere, el mapa de la traza es continuo de $W^{1,p}(\Omega)$ a $L^p(\partial\Omega)$ ). Para concluir, tenemos $w=v$ y por lo tanto $v\in W^{3,p}(\Omega)$ .

Ahora permítanme discutir un poco sobre los límites no suaves. Una buena (y quizás principal) referencia sobre este tema es el libro de Grisvard. Por supuesto, tienes las estimaciones interiores estándar independientemente de la regularidad de la frontera. Sólo las estimaciones hasta el límite dependen de la regularidad del límite. En el libro de Grisvard, las estimaciones básicas $L^p$ teoría, incluyendo la estimación $(*)$ se demostró asumiendo que el límite $\partial\Omega$ es $C^{1,1}$ y la estimación $(**)$ se probó para $C^{\,2,1}$ límites. Creo que se entiende: si quieres $v\in W^{k,p}$ entonces necesitas un $C^{\,k-1,1}$ límite. Esto no se puede mejorar en general: Por ejemplo, en los dominios poliédricos, generalmente $v\not\in H^2(\Omega)$ incluso para el lado derecho liso $g$ . Sin embargo, para los dominios convexos, asumiendo por ejemplo una condición Lipschitz, al menos $(*)$ es cierto. Espero que $(**)$ para ser también cierto. Podrías demostrarlo si sigues los pasos de Grisvard.