Problemas para entender el ejercicio 2.19a de Eisenbud

Question

Estoy trabajando con el libro "Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica" y me he topado con un ejercicio que me cuesta responder.

Dejemos que $R$ sea un anillo y que $M$ ser un $R$ -módulo. Supongamos que $\{f_i\}$ es el conjunto de elementos de $R$ que generan el ideal unitario, es decir $\langle f_1,...,f_n\rangle=R$ . Entonces, si $m\in M$ va a $0$ en cada $M[f_i^{-1}]$ entonces $m=0$ . (El ejercicio se puede encontrar aquí ).

En primer lugar, $m$ va a $0$ Esto significa que hay mapeos $\psi_i: M\rightarrow M[f_i^{-1}]$ s.t. $\psi_i(m)=0$ ? Si es así, ¿puedo ir a responder a eso $m$ debe ser $0$ ? Además, ¿hay algo interesante sobre los mapeos, son homomorfismos, isomorfismos, etc.?

La pista que se da en el libro dice que: Si $m$ va a $0$ en cada $M[f_i^{-1}]$ entonces $m$ se mata por una potencia de cada $i$ . Demuestre que si el conjunto $\{f_i\}$ genera el ideal unitario, entonces también lo hace el conjunto $\{f_i^{n_i}\}$ para cualquier número entero positivo $n_i$ .

Answer 1

Para cualquier subconjunto cerrado multiplicativo $S$ de $R$ existe un mapeo canónico $\,\varphi\colon M\rightarrow S^{-1}M$ definido por $\,\varphi(m)=\dfrac m1$ . Por definición de un módulo de fracciones, $\varphi(m)=0\iff \exists s\in S,\ sm=0$ .

Aquí tenemos subconjuntos cerrados multiplicativamente $S_i=\bigl\{1, f_i, f_i^2,\dots, f_i^k,\dots\bigr\}$ y $m$ mapas a $0$ en $M[f_i^{-1}]$ si y sólo si existe una potencia $k_i$ de $f_i$ tal que $f_i^{k_i}m=0$ .

Dejemos que $K=k_1+\dots+k_n$ ; escriba $1=\lambda_1 f_1+\dots+\lambda_nf_n$ . Entonces por la fórmula multinomial, $$1=(\lambda_1 f_1+\dots+\lambda_nf_n)^K=\sum_{r_1+\dots+r_n=K} \frac{N!}{r_1\dotsm r_n!}(\lambda_1 f_1)^{r_1}\dots(\lambda_n f_n)^{r_n}. $$ Cada término de esta suma mata $m$ . De hecho, desde $r_1+\dots+r_n=k_1+\dots+k_n$ Al menos $1$ $r_i$ es $\geq k_i$ . Así, $1\cdot m = m= 0$ .

Answer 2

Si $\psi_i(m) = 0$ Entonces, usted sabe que $f_i^{n_i} m = 0$ para algunos $n_i \geq 0$ . Si pudiera expresar $1 = \sum_{i=1}^n a_i f_i^{n_i}$ con $a_i \in R$ Entonces estarías acabado, ya que sabrías que $m = \sum_{i=1}^n a_i f_i^{n_i} m = 0$ . Pero usted sabe que $\langle f_1, \dots, f_n \rangle = R$ Así que $1 = c_1 f_1 + \dots + c_n f_n$ . Eleva cada lado de esta ecuación al $\sum_{i=1}^n n_i$ y observe que cuando se expande por el teorema del binomio, cada término contiene un factor de la forma $f_i^{n_i}$ para al menos una $i$ .

Answer 3

Para cualquier conjunto multiplicativo $S$ existe un mapa canónico $\psi_S:M\to M_S$ dado por $\psi_S(m)=m/1$ . Se trata de un homomorfismo de módulo. Si $\psi_S(m)=0$ entonces $m/1=0/1$ (en $M_S$ ), y por definición hay $s\in S$ tal que $sm=0$ . Si $S=\{1,f_i,\dots,f_i^n,\dots\}$ entonces $\psi_S(m)=0$ significa que hay $n\ge1$ tal que $f_i^nm=0$ .

Answer 4

También puede demostrar que el módulo $A^*=\prod_{i=1}^n A[f_i^{-1}]$ es fielmente $A$ -plana: es plana, ya que cada uno de los términos lo es. Ahora, dado un ideal máximo $\mathfrak m$ de $A$ El hecho de que el $f_i$ generar $A$ significa que debe haber algún $f_i$ no contenida en $\mathfrak m$ . Esto significa que $\mathfrak m A[f_i^{-1}]\neq A[f_i^{-1}]$ Así que $\mathfrak m A^*\neq A^*$ .

Dado $m\in M$ Considere la $A$ -Módulo $Am=N$ . La hipótesis significa que $A^*\otimes N=0$ para que $N=0$ y $m=0$ . En particular $A^*\otimes M=0$ implica $M=0$ . No estoy seguro de que Eisenbud lo mencione, pero nótese que las condiciones que el $f_i$ suma a $A$ equivale a la $X_{f_i}$ siendo una tapa abierta de ${\rm Spec}(A)$ .