Es un cubrir el espacio de un colector siempre un colector de

Question

Suponga $M$ es de un colector y $q : E \to M$ es un cubriendo mapa. Me han dicho un par de veces que un cubrir el espacio de un colector es de nuevo un colector. De hecho, es fácil comprobar que $E$ es tanto Hausdorff localmente euclídeo. Estoy preocupado acerca de si $E$ tiene que ser de segunda contables.

Si $E$ no está conectado, entonces no necesita ser segundo contables. Tome el estándar que cubre mapa de $\coprod_{i \in \mathbb{R}} M \to M$.

Pregunta: Si $E$ está conectado, entonces ¿por qué es segundo contable?

Answer 1

Porque de Poincaré-Volterra del teorema.
La mejor referencia es, como de costumbre, Forster gran Conferencias sobre las superficies de Riemann , Lema 23.2, página 186.
Menos autónomo pero versión más general (sorpresa, sorpresa...) se encuentra en Bourbaki la Topología General : es el último resultado del Capítulo 1.

Answer 2

En el caso de que el colector tiene un PL estructura, creo que hay una escuela primaria de la prueba de la siguiente manera.

Desde $E$ está conectado, el grado de cobertura es el tamaño del grupo fundamental de la $M$.

También, el grupo fundamental de la $M$ debe ser contables, de la siguiente manera. $M$ es homeomórficos a un localmente finito simplicial complejo. El grupo fundamental proviene de caminos en el 1-esqueleto de ese complejo, considerado como un gráfico. Desde el complejo simplicial es localmente finito, sólo hay countably muchos de esos caminos, y por lo tanto el grupo fundamental es contable.

Así que el grado de cobertura es contable, y podemos levantar una contables base de la $M$ para obtener una contables base de la $E$. Por lo tanto, $E$ es segundo contable.