Traducción invariante medidas en $\mathbb R$.

Question

¿Cuáles son todos los de la traducción invariante medidas en $\mathbb{R}$?

Excepto medida de Lebesgue en $\mathbb R$ yo no encuentro ninguna traducción invariante de la medida. Así que me puse esta pregunta?

Sé que si $\mu$ es una medida que, a continuación, $c \times \mu$ es de nuevo una medida de $c>0$.

Answer 1

Deje $\lambda$ ser una traducción invariante en la medida de los conjuntos de Borel que pone positivo y finito medida en que el derecho a abrir la unidad de intervalo de $[0,1)$ $\lambda$ es un múltiple positivo de la medida de Lebesgue. Aquí es un esquema de la prueba: Cada Borel medida está determinada por su comportamiento en finito de intervalos. Por la traducción de la invariancia, usted sabe que un derecho-abrir intervalo de longitud de $1/2^n$ tiene una medida de $1/2^n \lambda[0,1)$, ya que el $2^n$ estas piezas forman un separe la cubierta sobre el $[0,1)$ y cada pieza puede ser traducido a todos los otros tal pieza. Ahora usted puede aproximado de cada intervalo por ese tipo de piezas para localizar a la medida de cada intervalo.

Answer 2

$\mathbb{R}$ es localmente compacto grupo con respecto a la adición y la traducción invariante medidas son las Haar medidas en este grupo. Un general del teorema de Von Neumann afirma que la medida es única, hasta un multiplicativo constante.

Answer 3

Medida de Lebesgue y sus múltiplos no son las únicas medidas que son invariantes bajo traslaciones. Tomemos, por ejemplo, el conteo de medida a lo largo de los enteros o más de los racionales. Seguro, que son infinitos, pero tu pregunta no mencionar la finitud.