Función continua en un compacto de espacio métrico es uniformemente continua

Question

Estoy luchando con esta pregunta:

Demostrar o dar un contraejemplo: Si $f$ es una función continua en un compacto subconjunto $Y$ de un espacio métrico $X$, entonces $f$ es uniformemente continua en $Y$.

Gracias por su ayuda de antemano.

Answer 1

La respuesta es sí, si $f$ es continua en un espacio compacto, entonces es uniformemente continua:

Deje que $f: X \a Y$ ser continua, deje que $\varepsilon > 0$ y dejar que $X$ ser un espacio métrico compacto. Debido a que $f$ es continua, por cada $x$ en $X$ se puede encontrar un $\delta_x$ tal que $f(B(\delta_x, x)) \subconjunto de B(\varepsilon, f(x))$. Las bolas de $\{B(\delta_x, x)\}_{x \in X}$ forma una cubierta abierta de $X$. Para hacer las bolas de $\{B(\frac{\delta_x}{2}, x)\}_{x \in X}$. Dado que $X$ es compacto, usted puede encontrar un número finito de subcover $\{B(\frac{\delta_{x_i}}{2}, x_i)\}_{i=1}^n$. (Se verá en un segundo ¿por qué estamos eligiendo las radios a ser la mitad solamente.)

Ahora usted quiere elegir a una distancia $\delta$ tal que para cualquier par de $x,$ y que se encuentran en la misma $B(\delta_{x_i}, x_i)$ si su distancia es de menos de $\delta$. ¿Cómo hacer eso? Tenga en cuenta que ahora que usted tiene un número finito de $\delta_{x_i}$ que usted puede tomar el mínimo de: $\min_i \delta_{x_i}$. Considere dos puntos $x$ y $y$. Seguramente $x$ se encuentra en una de las $B(\frac{\delta_{x_i}}{2}, x_i)$, ya que cubren la totalidad del espacio y por lo tanto $x$, también se encuentra en $B(\delta_{x_i}, x_i)$ $i$. Ahora queremos $y$ a también se encuentran en $B(\delta_{x_i}, x_i)$. Y aquí es donde viene en práctico que hemos elegido un subcover con radios dividido por dos: si usted escoge $\delta = \min_i \delta_{x_i}$ (es decir, $\delta = \frac{\delta_{x_i}}{2}$ $i$) $$ y también se encuentran en $B(\delta_{x_i}, x_i)$: $d(x_i, y) \leq d(x_i, x) + d(x,y) < \frac{\delta_{x_i}}{2} + \min_k \delta_{x_k} \leq \frac{\delta_{x_i}}{2} + \frac{\delta_{x_i}}{2} = \delta_{x_i}$.

Espero que esto ayude.