Series transfinitas: Sumas incontables

Question

Si se suma una expresión sobre un conjunto incontable $\sum_{x\in \mathbb{R}}f(x)$ Entonces, ¿necesitamos $f(x)=0$ en todo menos en un subconjunto contable para que la suma tenga un valor finito?

Si no es así, ¿puedes dar un ejemplo de una función en cualquier lugar distinto de cero que tenga una suma transfinita con un valor finito?

Posibles palabras clave: Transseries, suma de Écalle-Borel, función analizable

Transseries para principiantes , GA Edgar, 2009

Answer 1

HINT

Dado $\varepsilon>0$ ¿se puede medir el conjunto $\{x:f(x)>\varepsilon\}$ ?

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Editar: Dando un poco de contexto a la insinuación un poco corta.

Supongamos que $E\subset\mathbb{R}$ es incontable, y que $f$ ser un no negativo definida en $E$ . La definición habitual de la expresión $\sum_{x\in E}f(x)$ viene dada por $$ \sum_{x\in E}f(x) =\sup_{F\subset E,\,|F|<\infty}\sum_{x\in F}f(x) \tag{1} $$ es decir, tomamos el supremum sobre conjuntos finitos.

Ahora, elijamos $\varepsilon>0$ y considerar el conjunto $$E_\varepsilon = \{x\in E :f(x)>\varepsilon\}.$$ Este conjunto debe ser finito para que la suma en (1) sea finita, porque de lo contrario podemos para cada entero positivo $n$ elegir subconjuntos $F_n\subset E_\varepsilon$ tal que $|F_n|=n$ y luego $$\sum_{x\in E}f(x)\ge \sum_{x\in F_n}f(x)>\sum_{F_n}\varepsilon =n\varepsilon.$$

Desde $$\bigcup_{\varepsilon>0} E_\varepsilon =\bigcup_{n=1}^\infty E_{1/n} =\{x\in E:f(x)>0\}$$ la conclusión es la siguiente.

Nota: He añadido la suposición $f\ge0$ . De hecho, no creo que exista una definición razonable para la convergencia condicional de este tipo.