Nil-Radical es igual Jacobson Radical, aunque no todas las prime ideal es máxima?

Question

Supongamos que tenemos un anillo conmutativo con identidad. Puede el Nil-Radical y el Jacobson Radical de ser iguales en un no-caso trivial (es decir, no todos cero el primer ideal en dicho anillo es máxima)? Hay ejemplos interesantes de este caso?

Answer 1

De hecho hay muchos anillos en los que el nilradical es igual a la de Jacobson radical.

Considere la siguiente propiedad de un anillo: cada primer ideal es la intersección de la máxima ideales que la contiene. Estos anillos se llaman Hilbert-Jacobson anillos. En una de Hilbert-Jacobson anillo, la intersección de todos los primeros ideales es, por tanto, la intersección de todos los máximos ideales, es decir, el nilradical y Jacobson radical coinciden.

Y, de hecho, hay muchos de Hilbert-Jacobson anillos. Un buen resultado en esta dirección es:

Teorema: Vamos a $R$ ser una de Hilbert Jacobson anillo, y deje $S$ ser un anillo que es finitely genera como una $R$-álgebra. A continuación, $S$ es también una de Hilbert-Jacobson anillo.

Desde cualquier campo es trivialmente una de Hilbert-Jacobson anillo, se sigue que todas las álgebras de que se finitely generado más de un campo de Hilbert-Jacobson, como Arturo Magidin, señaló en su respuesta.

Un poco de información sobre este tema, incluyendo una prueba del teorema, ver estas notas.

Answer 2

Deje $k$ ser un campo, y deje $R=k[x_1,\ldots,x_n]/\mathfrak{I}$ donde $\mathfrak{I}$ es un ideal de a $k[x_1,\ldots,x_n]$.

El nilradical de $R$$\sqrt{\mathfrak{I}}/\mathfrak{I}$, y el Jacobson radical de $R$ $\mathfrak{M}/\mathfrak{I}$ donde $\mathfrak{M}$ es la intersección de todos los máximos ideales de la $k[x_1,\ldots,x_n]$ que contengan $\mathfrak{I}$.

Pero por Hilbert Nullstellensatz, $\sqrt{\mathfrak{I}}$, el radical de $\mathfrak{I}$, es la intersección de todos los máximos ideales de la $k[x_1,\ldots,x_n]$ que contengan $\mathfrak{I}$, por lo que el nilradical de $R$ es igual a la de Jacobson radical de $R$.

Sin embargo, en estos anillos no son generalmente el primer ideales que no son de la máxima. Por ejemplo, si $n\geq 3$ y tome $\mathfrak{I}=(x_1)$, $(x_1,x_2)+\mathfrak{I}$ es primo pero no máxima.

Answer 3

Teorema 5.1 en T. Y. Lam del libro "Un Primer Curso en no conmutativa Anillos" dice que todo polinomio anillo de $R[T]$ sobre un anillo conmutativo $R$ satisface $$rad \,\, R[T] = Nil(R[T]) = (Nil \,\,R)[T]$$