Encontrar la suma de $\sin(0^\circ) + \sin(1^\circ) + \sin(2^\circ) + \cdots +\sin(180^\circ)$

Question

Necesito ayuda para la comprensión de la suma de $\sin(0^\circ) + \sin(1^\circ) + \sin(2^\circ) + \cdots +\sin(180^\circ)$ o $\displaystyle \sum_{i=0}^{180} \sin(i)$

Esto podría estar relacionado con una fórmula para encontrar el promedio de voltaje de un generador utilizado para medir las ondas: $V_\text{avg} = 0.637 \times V_\text{peak}$. Actualmente estoy aprendiendo acerca de circuitos de CA en el ejército.

Answer 1

La suma finita se puede encontrar en forma cerrada exaclty el uso de la serie geométrica y el teorema de Euler.

Primero el teorema de Euler utilizando los números imaginarios para relacionar las funciones trigonométricas para la función exponencial.

$$ e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin(\theta) \qquad \textbf{(1)}$$

Segundo de la serie geométrica finita nos dice cómo agregar una suma de potencia de un número,

$$ \sum_{k=0}^N x^k = \frac{x^{N+1}-1}{x-1} \qquad \textbf{(2)}$$

Ya que usted parece estar interesado en medir el ángulo en grados, debemos incluir el factor de conversión en nuestro ángulo. Voy a representar a este factor por la variable $\lambda=\pi/180$. Podemos escribir la serie está interesado en como,

$$ \sum_{k=0}^N \sin( k^\circ) = \sum_{k=0}^N \sin( \lambda k) = Im\left(\sum_{k=0}^N e^{i\lambda k} \right) \qquad \textbf{(3)}$$

Así que si nos encontramos con que la parte imaginaria de la suma de funciones exponenciales vamos a tener éxito en la evaluación de la suma.

$$ \sum_{k=0}^N e^{i\lambda k} = \sum_{k=0}^N \left( e^{i \lambda} \right)^k = \frac{(e^{i\lambda})^{N+1} - 1 }{e^{i\lambda}-1}$$

Para obtener la parte imaginaria de la suma utilizamos la identidad que la parte imaginaria de un número complejo es el número menos su complejo conjugado dividido por el doble de $i$.

$$ Im\left(\sum_{k=0}^N e^{i\lambda k} \right)= \frac{1}{2i} \left( \frac{(e^{i\lambda})^{N+1} - 1 }{e^{i\lambda}-1} - \frac{(e^{-i\lambda})^{N+1} - 1 }{e^{-i\lambda}-1}\right)$$

$$ = \frac{1}{2i} \left( \frac{(e^{i\lambda})^{N+1} - 1 }{e^{i\lambda}-1} - \frac{(e^{-i\lambda})^{N+1} - 1 }{e^{-i\lambda}-1}\right) $$

$$ = \frac{\sin(N\lambda) + \sin(\lambda) - \sin((N+1)\lambda)}{2(1-\cos(\lambda))}$$

Si sustituimos $N=180$ somos,

$$\sum_{k=0}^{180} \sin(k^\circ) = \frac{\sin(\pi) + \sin(\pi/180) - \sin(181 \pi/180)}{2(1-\cos(\pi/180))} \approx 114.6$$

Dividiendo esto por $180$ obtenemos una respuesta,

$$\frac{1}{180 } \sum_{k=0}^{180} \sin(k^\circ) = \frac{114.6}{180} \approx .637 $$

Answer 2

$$ \begin{align} \sum_{i=0}^{180}\sin(i^{\circ})&=\sum_{i=0}^{180}\sin\left(i\frac{\pi}{180}\right)\\ &=\frac{180}{\pi}\sum_{i=0}^{180}\sin\left(i\frac{\pi}{180}\right)\frac{\pi}{180}\\ &=\frac{180}{\pi}\sum_{i=0}^{180}\sin\left(i\cdot\Delta{i}\right)\Delta{i}\\ &\approx\frac{180}{\pi}\int_{i=0}^{\pi}\sin(x)\,dx\\ &=\frac{180}{\pi}\left[-\cos(x)\right]_{x=0}^{x=\pi}\\ &=\frac{360}{\pi}\\ \end{align} $$

Si tenemos una media de este a lo largo de la $181$ términos, $\frac{360}{181\pi}\approx0.633\ldots$.

Answer 3

Voy a asumir que usted quiere que el promedio, $$ \frac{\sin0^\circ+\cdots+\sin180^\circ}{181}. $$

Esto se aproxima a la media del valor del seno en radianes de la función en el intervalo de$0$$\pi$, que es $$ \frac 1 \pi \int_0^\pi \sin x\, dx = \frac 2 \pi. $$

Answer 4

Wikipediadice: $$\sum_{k=0}^n \sin{(\gamma + k\alpha)} = \frac{\sin\tfrac{(n+1)\alpha}{2} + \sin{(\gamma + \tfrac{n\alpha}{2})}}{\sin\tfrac\alpha2}$$So we may write $\gamma = 0$, $n=180$ and $\alpha=\frac{\pi}{180}$ to get $$\sum_{k=0}^{180} \sin{\tfrac{k\pi}{180}} = \frac{\sin\tfrac{181\pi}{360} \sin\tfrac{\pi}{2}}{\sin\tfrac{\pi}{720}} = \frac{\sin\tfrac{181\pi}{360} }{\sin\tfrac{\pi}{720}}$$

Una prueba de la fórmula se puede encontrar aquí.