Límite de $\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n$

Question

Estoy tratando de encontrar el límite de$a_n = \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n$$n \rightarrow \infty$.

Parece que el límite es de $1$, ya que el $a_n = 0.999...$ grandes $n$. La presentación de $a_n = \frac{(n^2-1)^n}{n^{2n}}$ y la expansión fue mi primera idea, pero no pude conseguir el resultado a partir de ahí. Alguna idea?

Answer 1

$$\left(1-\frac1{n^2}\right)^n=\left(1-\frac1n\right)^n\left(1+\frac1n\right)^n\xrightarrow[n\to\infty]{}e^{-1}e=1$$

Answer 2

Por la desigualdad de Bernoulli

$$ 1 - \frac{1}{n} \leq \left(1 - \frac{1}{n^2}\right)^n \leq 1.$$

Answer 3

Desde que pidió una respuesta de no utilizar el límite conduce a $1/e$ ¿qué hay de esto?

Utilizando el binomio de expansión de $\left( 1-\dfrac1{n^2} \right)^n$ usted debe ser capaz de establecer una serie de $n$ y, a continuación, tomar el límite. Esta serie va a empezar $$1^n + n \cdot 1^{n-1} \cdot \dfrac{-1}{n^2} + \dfrac{n \cdot (n-1)}2 \cdot1^{n-2} \cdot \left( \dfrac{-1}{n^2}\right) ^2 \ldots$$ and from there you should be able to simplify and show that the limit goes to $1$.

Answer 4

$$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=\lim_{n\to\infty}\left(\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^{2}}\right)^{\frac{1}{n}}=\left(\frac{1}{e}\right)^{0}=1$$ porque $$\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^{2}}=\frac{1}{e}$$ y $$\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}=0$$