Duro concurso tipo de prueba de la trigonometría

Question

Supongamos que los números reales $x, y, z$ satisfacer: $$\frac{\cos x + \cos y + \cos z}{\cos(x + y + z)} = \frac{\sin x + \pecado y + \sin z}{\sin (x + y + z )} = p$$

Demostrar que: $$\cos (x + y) + \cos (y + z ) + \cos (x + z) = p$$

Yo no soy de conseguir siquiera por dónde empezar? Por favor, ayudar.

Answer 1

nota $$\cos{(x+y)}=\cos{[(x+y+z)-z]}=\cos{(x+y+z)}\cos{z}+\sin{(x+y+z)}\sin{z}$$ y $$\cos{(y+z)}=\cos{(x+y+z)}\cos{x}+\sin{(x+y+z)}\sin{x}$$ $$\cos{(z+x)}=\cos{(x+y+z)}\cos{y}+\sin{(x+y+z)}\sin{y}$$ agregar tres \begin{align*} &\cos{(x+y)}+\cos{(y+z)}+\cos{(x+z)}\\ &=(\cos{x}+\cos{y}+\cos{z})\cos{(x+y+z)}+(\sin{x}+\sin{y}+\sin{z})\sin{(x+y+z)}\\ &=p\cos^2{(x+y+z)}+p\sin^2{(x+y+z)}\\ &=p \end{align*}

Answer 2

Yo prefiero @math110 la solución, pero aquí es un método de fuerza bruta el uso de exponenciales complejas, con $$\cos \theta = \frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$$ Definimos $$a := e^{ix} \qquad b := e^{iy} \qquad c := e^{iz}$$ así que $$p = \frac{\cos x + \cos y + \cos z}{\cos(x+y+z)} \implies p(a^2b^2c^2 +1) = abc (a+b+c) + bc + ca + ab \qquad (1)$$ $$p = \frac{\sin x + \sin y + \sin z}{\sin(x+y+z)} \implies p(a^2b^2c^2 - 1 ) = abc (a+b+c) - bc - ca - ab \qquad (2)$$

Por lo tanto, de$(1)-(2)$$(1)+(2)$, tenemos $$p = bc + ca + ab \qquad\qquad p = \frac{a+b+c}{abc} = \frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{ab}$$ con lo cual $$2p = bc+\frac{1}{bc}\;+\;ca+\frac{1}{ca}\;+\;ab+\frac{1}{ab} = 2\left( \cos(y+z)+\cos(z+x)+\cos(x+y)\right)$$