Es allí una manera simple, constructivo, 1-1 asignación entre los reales y los irrationals?

Question

Es allí una manera simple, constructivo, 1-1 asignación entre los reales y los irrationals?

Sé que el Cantor–Bernstein–Schroeder teorema de implica la existencia de un 1-1 asignación entre los reales y los irrationals, pero las pruebas de este teorema son no constructiva.

Me preguntaba si un simple (que no involucren un conjunto infinito de asignaciones) constructivo (por lo que la asignación es directa especificado) asignación existido.

He considerado cosas como la asignación de los racionales a los racionales, además de un fijo irracional, pero entonces yo no podía entender cómo prevenir el infinito (posible uncountably infinito) la regresión.

Answer 1

Los números en el mapa de la forma $q + k\sqrt{2}$ $p\in \mathbb{Q}$ y $k \in \mathbb{N}$ $q + (k+1)\sqrt{2}$ y corregir todos los otros números.

Answer 2

Deje que $\phi_i$ ser una enumeración de los racionales. Deje que $\eta_i$ ser algunos de los contables de la secuencia de los distintos irrationals; dicen que para la concreción que $$\eta_i = \frac{\sqrt2}{2^{i}}.$$

A continuación, defina $$f(x) = \begin{casos} \eta_{2i} & \text{si $x$ es racional y tan iguales a $\phi_i$ $i$} \\ \eta_{2i+1} & \text{si $x$ es irracional y es igual a $\eta_i$ $i$} \\ x & \text{en caso contrario} \end{casos}$$

$f$ es ahora un bijective asignación entre los reales y los irrationals.

Esta asignación fue encontrado por Cantor en 1877; yo lo vi en el papel "Fue Cantor Sorprendido?" por Fernando P. Gouvêa. (American Mathematical Monthly, 118, Marzo 2011, pp 198-209.) La construcción se describe en el medio de la página 208.

Answer 3

Hay un mapa entre los números irracionales y la no-eventualmente cero secuencias de números naturales, es decir, fracciones continuas.

Podemos demostrar fácilmente (usando el Cantor-Bernstein teorema, de todos modos), que no es un bijection entre $\Bbb R$ y el conjunto de estos no-eventualmente cero secuencias de enteros.

Ahora la composición funciona bien como un bijection de $\Bbb R$ y $\Bbb{R\setminus Q}$. Pero no es tan elegante como MJD la solución.

Answer 4

Bastante similar, tome su favorito trascendental-la mía es de $e$ porque es fácil escribir. Para un primer corte de tomar cada racional $q$ de $fc$, cada número de la forma $qe$ $qe^2$, cada $qe^2$ $qe^3$ y así sucesivamente. $E$ es trascendental, nunca nos topamos con un problema con volver a los racionales. Por desgracia, esto nos deja con un problema en $0$, pero hay un punto fácil de cuidar. La respuesta final es (con $$ n ser cualquier entero no negativo)$$f(x)=\begin {casos}e&x=0\\e^{n+2}&x=e^n\\ex&x=qe^n, p \en \Bbb Q\\x&\text{en caso contrario} \end{casos}$$