Resumen
No hay una definición razonable de dirección en resumen espacios vectoriales, pero que no siempre se incluyen "orientación". Para hablar de magnitudes como la longitud, que realmente necesita extra estructura de una norma en un orden de campo.
Dirección
En resumen espacios vectoriales, puede vincular una débil idea de la "dirección" con un vector directamente por la definición de:
Podemos decir $v$ $w$ tienen la misma dirección si $\langle v\rangle=\langle w\rangle$. ($\langle\dots \rangle$ se denota lineal lapso, aquí).
Es decir, cada una de las $1$-dimensiones subespacio podría ser considerado como una clase de vectores en la misma dirección. Observe, sin embargo, que este sistema tiene que pensar en el vector cero como "en todas direcciones", y tal vez filosóficamente, entonces no tiene ningún sentido en absoluto :)
Algunas personas podrían también incluir un componente de orientación cuando se está pensando en la "dirección", así que se debe hablar de eso también. Como lo que yo puedo decir, esto obliga a $F$ es una ordenó campo $F$ , de modo que usted puede establecer una dicotomía de lo que es positivo y lo negativo. (Usted no tiene que tener la orientación si usted está contento con la definición de la dirección de arriba, pero creo que vale la pena discutir.)
Dada una dirección $\langle v \rangle$ (y un orden en su campo, por supuesto), se podría decir que los elementos de la $A=\{\lambda v\mid \lambda>0\}$ son mutuamente orientado de la misma manera, y $B=\{\lambda v\mid \lambda<0\}$ como orientada en "el otro", y están orientadas en sentido opuesto a las cosas en $A$. Este es un problema para finito de los campos, que no puede ser ordenado. En característicos $2$ campos, por ejemplo, $v=-v$ para todos los vectores, por lo que la dicotomía no existe en absoluto, no.
Magnitud
Para hablar de longitudes en un resumen vetor espacio, usted realmente necesita un extra de estructura de una norma. Esto le da una manera de medir la "larga" de los vectores. Ser capaz de comparar las longitudes de los vectores con una norma de nuevo sólo tiene sentido cuando se trabaja con una norma en un orden de campo, por lo que puede distinguir qué magnitud es mayor.
Por otro lado, si estás feliz de tener algún tipo de escalar para cada vector, entonces no son generalizaciones de las normas en nonordered campos que iba a funcionar. Usted simplemente no podía interpretar sus valores como la longitud. Realmente, nuestra intuición geométrica sobre la duración es de todos unidos, ordenó a los campos.
