Es la localización de un henselian anillo todavía henselian?

Question

Si $(A,m,k)$ es un henselian anillo local y $P$ es un primer ideal de $A$, no se sigue que también se $A_P$ es henselian?

Answer 1

No.

Deje $k$ ser un campo de carácter no $2$. Deje $A = k [[ x,y ]]$, el anillo de poder formal de la serie en $x$$y$. Este es un completo anillo local con ideal maximal $\langle x,y \rangle$, y por lo tanto henselian.

Deje $P \subset A$ ser el ideal $\langle x \rangle$. Por lo que los elementos de $A_P$ es de relaciones de poder formal de la serie de $f(x,y)/g(x,y)$ donde $g$ no es divisible por $x$. La ecuación de $u^2 = 1-x/y$, obviamente, tiene dos raíces, $\pm 1$, modulo $P_P$. Me dicen que no tienen raíces en $A_P$; de hecho, ni siquiera tiene raíces en $\mathrm{Frac}(A_P) = \mathrm{Frac}(A)$. Supongamos que al contrario que $(f(x,y)/g(x,y))^2 = 1-x/y$. Por lo $y f(x,y)^2 = g(x,y)^2 (y-x)$$f$$g$$A$. Pero $A$ es un UFD donde $y$ $y-x$ son relativamente primos irreducibles, por lo $y$ divide $y f^2$ un número impar de veces y $(y-x) g^2$ un número par de veces, la contradicción.