Cuáles son los ejemplos más sencillos de anillo conmutativo $R$ que satisfaga las dos propiedades siguientes:
1. $R$ no es noetheriano.
2. $R$ tiene exactamente un ideal primo.
Lamentablemente, no. Lo ideal $\langle x_j \langle_{j > 1}$ es primo, ya que el cociente es $k[x_1]$ .
@David: Deliberadamente no excluí el caso $i = j$ . Estoy bastante seguro de que esto funciona. El cociente por el ideal que describes es $k[x_1]/(x_1^2)$ .
En otras palabras, si $I = (x_1,\ldots,x_n,\ldots)$ entonces esto es $k[x_1,x_2,\ldots]/I^2$ .
$$R:= k[x_1, x_2, x_3, \cdots ]/\langle x_1^2,\ x_2^2=x_1,\ x_3^2=x_2,\ x_4^2=x_3,\ \cdots \rangle$$
Recuerda que los ideales primos son precisamente los núcleos de los mapas a campos. Si $K$ es un campo cualquiera, y tenemos un mapa $\phi: R \to K$ alors $\phi(x_1)=0$ y por lo tanto $\phi(x_2) =0$ y por lo tanto $\phi(x_3)=0$ y así sucesivamente, por lo que el único ideal primo es $\langle x_1, x_2, x_3, \ldots \rangle$ .
Para ver que esto no es noeteriano, observe que $(0) \subsetneq (x_1) \subsetneq (x_2) \subsetneq (x_3) \subsetneq \cdots$ es una cadena ascendente de ideales que no termina.
Por supuesto, el exponente específico $2$ no es importante. La clave es hacer una secuencia de variables $x_1$ , $x_2$ ..., todos los cuales son nilpotentes, pero para que pueda matar a $x_1$ , $x_2$ , ..., $x_k$ sin matar a la posterior $x$ 's.
Pensé que esta observación podría ser útil para futuros espectadores que no sean el OP. Si un mod piensa que esto es lo suficientemente viejo para un nuevo tema, por favor, hágalo.
Como el nilradical está en todos los primos, la condición de tener sólo un ideal primo (que además será maximal) es equivalente a la condición de que el nilradical sea un ideal maximal.
Así se obtiene inmediatamente una gran clase de ejemplos como los mencionados en los carteles anteriores como anillos no noetherianos de la forma $k[N]$ donde $k$ es un campo y $N$ es un conjunto de elementos nilpotentes. De hecho, en el ejemplo de Qiaochu basta con tomar el cociente más simple $k[x_1,x_2,...]/(x_1^2,x_2^2,...)$ .
Observe también como en los ejemplos de la forma $k[N]$ dado anteriormente, en cualquier ejemplo el ideal máximo tendrá que ser infinitamente generado ya que un anillo es noetheriano si cada primo es finitamente generado.
Me pregunto si hay ejemplos que no sean de la forma $k[N]$ .
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Sugerencia: se puede obtener un ejemplo de esto encontrando un anillo cuyo ideal máximo esté formado por elementos nilpotentes pero que no sea nilpotente (por ejemplo, un cociente adecuado de $k[x_1, x_2, \dots]$ ).
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@Akhil: Estaba intentando buscar un cociente de la forma k[x1,...]/(x1, x2^2,...xn^n,...), pero parece que no funciona. Una pista adicional sería muy apreciada.
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@spec: Estimado Spec, En realidad, lo que acabas de describir es precisamente el ejemplo que tenía en mente; ese anillo tiene un ideal primo (a saber, el generado por todos los $x_i$ ), que no es nilpotente.