¿Es posible hacer este dibujo sin levantar el bolígrafo?

Question

Hace unos días, nuestro profesor de matemáticas dijo que daría una buena nota al primero que consiguiera dibujar esto:

Para dibujar esto sin levantar el bolígrafo y sin trazar la misma línea más de una vez. Es un poco como el rompecabezas de los "nueve puntos", pero aquí no he encontrado ninguna solución que funcione. Así que tengo dos preguntas:

• ¿es realmente imposible?
• cómo se puede demostrar que es imposible (si es que es imposible)

[EDITAR]: Después de publicar esta pregunta, y ver que era fácil para la gente resolverla, me he dado cuenta de que he publicado el dibujo equivocado. El actual es exactamente así pero con triángulos en todos los lados, no sólo arriba y abajo. Como eso haría que las respuestas actuales no fueran válidas, no he sustituido el dibujo.

Answer 1

Es posible, y de hecho es bastante fácil. Empieza en el punto rojo y mueve el bolígrafo según los números que aparecen en la imagen de abajo.

Answer 2

Esta es una forma, entre muchas otras.

Como puedes ver, he empezado en un vértice y he terminado en el mismo vértice. Como el gráfico está conectado, y cada vértice tiene un número par de segmentos unidos a él, puedes empezar en cualquier vértice y terminar allí, cubriendo todos los segmentos.

Answer 3

En matemáticas, dibujar una forma geométrica sin levantar el lápiz y sin trazar la misma línea más de una vez es idéntico a encontrar un Camino euleriano en el grafo no dirigido compuesto por las intersecciones de la forma.

La existencia de un camino euleriano en un grafo conectado está directamente relacionada con el número de vértices que tienen un grado impar (el grado de un vértice es el número de segmentos en la intersección) :

• Si hay 0, entonces existe al menos un ciclo euleriano, que es un camino euleriano que empieza y termina en el mismo vértice. Este tipo de gráfico se llama gráfico euleriano.
• Si hay 2, entonces existe al menos un camino euleriano.
• Todos los demás números significan que no hay ningún rastro euleriano, lo que significa que el dibujo no es posible bajo estas restricciones.

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En tu caso, el grafo está conectado y todos sus vértices tienen un grado par, lo que significa que tu problema es resoluble. Aquí hay una solución:

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Otro ejemplo, mira esta forma.

Hay 4 vértices que tienen un grado impar.

Así que no hay solución para esto.

Answer 4

Sí, es posible. En este tipo de problemas, mira todos los puntos de intersección de los segmentos. Si hay $0$ o $2$ intersecciones en las que se une un número impar de segmentos (incluidos los puntos finales que se consideran $1$ segmento), entonces la tarea es factible. Si hay más de $2$ No lo es. Su dibujo es definitivamente factible ya que todas las intersecciones implican $2$ o $4$ segmentos que se unen.

Problemas similares han plagado mi existencia desde el tercer grado. Un día me topé con un libro sobre el tema cuando tenía once o doce años y ofrecía una explicación similar a la que he escrito más arriba.

Answer 5

Un poco de teoría:

Piensa en la figura como un gráfico, con vértices y aristas como se indica en la respuesta de Wojowu.

El grafo está conectado y cada vértice tiene grado par (número de aristas que salen de él), y por tanto, por un teorema de la teoría de grafos, el grafo tiene un Ciclo euleriano . Esto significa que no sólo puedes trazarlo sin levantar el bolígrafo, sino que puedes hacerlo de forma que cada borde se cruce sólo una vez, y también que termines donde empezaste. La respuesta de Rory muestra una forma de hacerlo.

He aquí una pregunta relacionada: ¿Qué pasa si no nos importa cruzar todas las aristas, pero queremos trazar dentro de la figura de manera que nos encontremos con cada vértice exactamente una vez, y ¿empezamos y terminamos en el mismo vértice? ¿Se puede hacer esto? Es decir, ¿el gráfico tiene un Ciclo hamiltoniano ?