Aplicaciones de la fórmula de expresar las raíces de un general polinomio cúbico

Question

Sé que las matemáticas relacionadas con la búsqueda de la fórmula general mediante la expresión de las raíces de una tercera (y cuarta) de grado del polinomio por medio de radicales ha tenido un gran impacto en las matemáticas (los números complejos y la teoría de grupos, sólo para decir).

Sin embargo: ¿hay alguna aplicación útil de estas fórmulas? Mi impresión es que el cálculo (es decir, calcular derivadas, la interseccion de los métodos, el teorema de Sturm) son más útiles tanto para cualitativa y cuantitativa de las propiedades de tales raíces, incluso si una fórmula es disponible.

Answer 1

Creo (y espero) que este aparentemente inocente pregunta induce un montón de discusiones.

Como usted dice, la formal, la labor de las soluciones analíticas de la cúbica y cuártica polinomios es de gran importancia.

Ahora, desde un punto de vista práctico : sólo estoy preocupado por métodos numéricos y pasé la mayoría de mi vida trabajando con las ecuaciones cúbicas porque de la termodinámica (en la industria de petróleo y gas, la mayoría de los modelos están basados en lo que se llaman las ecuaciones cúbicas de estado); el primer paso del cálculo de cualquier propiedad física es : encontrar la raíz(s). Una de las cuestiones clave es no perder las raíces, cuando más de uno no existe; esto es crucial, por no decir más.

Debido a la limitada precisión en los equipos añadido al hecho de que los coeficientes no son racionales, la solución analítica no es utilizado. En la década de los 70's, me produce un informe técnico que muestra que, si se utiliza cuádruple de precisión (lo que sería muy costoso si se compara con doble precisión), se podría perder hasta el $0.1$ % de las raíces. Para dar una idea, en una simulación de yacimientos, resolviendo el cubo está hecho millones y millones de veces y uno de los subproductos de la simulación es la decisión de explotar o no el depósito.

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Answer 2

Yo no diría que las fórmulas analíticas son inútiles para el cálculo, pero son sin duda muy sobrevalorado. Cuando las personas logran reducir un problema a la solución de un cúbicos o cuarto grado, a menudo encuentran que se alegran y acaba de declarar la victoria. Pero, de hecho, se necesita una gran cantidad de cuidado y la habilidad para convertir las fórmulas en el código que funcionará de forma fiable, y es a menudo más fácil de dar y el uso de métodos numéricos. Yo trabajo en un gran sistema de software donde las ecuaciones cúbicas ocurren a menudo (ya que a menudo el uso de splines cúbicos cúbicos o las curvas de Bézier). Utilizamos métodos analíticos, pero el código incluye una comprobación para asegurarse de que ellos no van mal, y que a menudo "polaco" las soluciones que podemos obtener analíticamente haciendo uno o dos de Newton-Raphson iteraciones, o algo similar.

No es obvio cómo el código de la fórmula cuadrática correctamente, incluso, y cúbicas y cuárticas son mucho peor.

Lectura recomendada: "Dificultades en el Cálculo, o por Qué un Libro de Matemáticas no es Suficiente", por George Forsythe. Disponible aquí.