¿Cuál es el límite de $x/(x+\sin x)$ $x$ enfoques infinito?

Question

Estoy tratando de determinar

$$\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+ \sin x} $$

Yo no puedo usar aquí el notable límite (no sé si he traducido correctamente) $ \lim (\sin x)/x=1$ porque $x$ enfoques infinito, no $0$.

Answer 1

Suponga $x\neq 0$ y dividir el término dado por $x$ para obtener el formulario de $\frac{1}{1+\frac{\sin(x)}{x}}$. Esto claramente tiende a $1$ $x\rightarrow\infty$ desde $-1\le\sin(x)\le1$.

Answer 2

$-1\leq\sin x\leq 1$ $$\frac{x}{x+1}\leq\frac{x}{x+\sin x}\leq \frac{x}{x-1}$$
Se puede demostrar que el límite de $x/(x+1)$ e de $x/(x-1)$ ambos $1$? A continuación, utilice el Teorema del sándwich.

Answer 3

Pensar $\displaystyle\frac{\text{1 trillion}}{(\text{1 trillion}) + \sin(\text{1 trillion})} = \frac{\text{1 trillion}}{(\text{1 trillion}) + (\text{a number between $1$ and $-1$})}$.

Si se produce un error sugerir la respuesta para usted, entonces probablemente usted no entiende de límites o no entender la aritmética.

Para hacerlo de una manera más precisa, squeeze: $$ \frac x {x+1} \le \frac x {x+\sin x} \le \frac x {x-1} $$ Apretando generalmente es algo a tener en cuenta cuando se trata con los senos.

Answer 4

Desde $x$ es positivo y distinto de cero como $x\to\infty$, tenemos

$$ -1\leq\sin x\leq 1$$ $$ -\frac{1}{x}\leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$$ $$ -\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}\leq \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x} \leq\lim\limits_{x\to\infty}\frac{1}{x}$$ $$ 0\leq \lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x} \leq 0$$

Por lo tanto, por el teorema del encaje,

$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}=0$$

Así que ahora tenemos

$$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x}{x+ \sin x} = \lim\limits_{x \to \infty} \frac{1}{1+ \frac{\sin x}{x}} $$ $$= \frac{1}{1+ \lim\limits_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}} =\frac{1}{1+0}=1$$

Answer 5

Desde $x\to+\infty$ $-1\le\sin(x)\le1$ todos los $x\in\Bbb R$, $\sin(x)=o(x)$ y

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+\sin x}= \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x+o(x)}= \lim_{x\to\infty}\frac x x=1. $$