I) Recordemos que la formulación de la integral de trayectoria tiene (al menos) dos versiones: Lagrangiana y Hamiltoniana. A menudo se argumenta que la versión hamiltoniana es más fundamental. este Correo de Phys.SE.
II) Por un lado, el análisis de Dirac-Bergmann/transformación de Legendre sinular resulta que la densidad lagrangiana del Hamiltoniano de Nambu-Goto (NG) es
$${\cal L}_{NG,H} ~:=~ P\cdot \dot{X}-{\cal H}, \qquad {\cal H}~=~\lambda^{\alpha} \chi_{\alpha}, \qquad \alpha~\in~\{0,1\},\tag{1}$$
con dos restricciones de primer orden
$$ \chi_0~:=~P\cdot X^{\prime}~\approx~0, \qquad \chi_1~:=~\frac{P^2}{2T_0}+\frac{T_0}{2}(X^{\prime})^2~\approx~0,\tag{2} $$
véase, por ejemplo este Post de Phys.SE. Aquí $\lambda^0$ et $\lambda^1$ son multiplicadores de Lagrange para las restricciones de primera clase (2).
III) La densidad lagrangiana de raíz cuadrada original de Nambu-Goto
$$\begin{align} {\cal L}_{NG}~:=~&-T_0\sqrt{{\cal L}_{(1)}}, \cr {\cal L}_{(1)}~:=~&-\det\left(\partial_{\alpha} X\cdot \partial_{\beta} X\right)_{\alpha\beta} ~=~(\dot{X}\cdot X^{\prime})^2-\dot{X}^2(X^{\prime})^2~\geq~ 0, \end{align}\tag{3}$$
se vuelve a obtener integrando las variables $P$ , $\lambda^0$ et $\lambda^1$ en la densidad lagrangiana del Hamiltoniano de Nambu-Goto (1) si restringimos la variable
$$\lambda^1~>~0 \tag{4} $$
sea positivo. La inecuación (4) es necesaria para excluir una rama de raíz cuadrada negativa no física. Obsérvese que la inecuación (4) implica que la restricción de primera clase correspondiente $\chi_1$ no se cumple técnicamente con una distribución delta de Dirac en la integral de trayectoria.
IV) Por otra parte, el Polyakov (P) De Donder-Weyl (DDW) la densidad lagrangiana se lee
$$\begin{align}{\cal L}_{P,DDW}~=~&P^{\alpha} \cdot \partial_{\alpha}X +\frac{\gamma_{\alpha\beta}P^{\alpha}\cdot P^{\beta}}{2T_0\sqrt{-\gamma}} \cr ~=~& P^{\tau}\cdot \dot{X} +P^{\sigma}\cdot X^{\prime}+ \frac{(P^{\sigma} + \lambda^0 P^{\tau})^2}{2T_0 \lambda^1} - \frac{\lambda^1}{2T_0} (P^{\tau})^2, \end{align}\tag{5}$$
donde hemos introducido una métrica de la hoja del mundo (WS) $\gamma_{\alpha\beta}$ y polimomentos $P^{\alpha}=(P^{\tau};P^{\sigma})$ . Véase también, por ejemplo, mi respuesta en Phys.SE aquí .
V) En la segunda igualdad de la ec. (5), hemos definido dos variables auxiliares, $\lambda^0$ et $\lambda^1$ como sigue:
$$\begin{align} \lambda^0~=~&\frac{\gamma_{\tau\sigma}}{\gamma_{\sigma\sigma}} ~=~-\frac{\gamma^{\tau\sigma}}{\gamma^{\tau\tau}}, \cr \lambda^1~=~&\frac{\sqrt{-\gamma}}{\gamma_{\sigma\sigma}} ~=~ \frac{-1}{\sqrt{-\gamma}\gamma^{\tau\tau}}~\geq~0 \quad\Leftrightarrow\quad\gamma~:=~\det\left(\gamma_{\alpha\beta}\right)_{\alpha\beta}~=~-\left(\lambda^1\gamma_{\sigma\sigma}\right)^2~\leq~0 . \end{align} \tag{6}$$
El signo de la variable $\lambda^1$ debe ser positivo para que el término cinético de la densidad lagrangiana de Polyakov sea positivo definido. Véase también mi respuesta en Phys.SE aquí para más detalles.
Obsérvense los tres componentes de la métrica WS $\gamma_{\tau\tau}$ , $\gamma_{\tau\sigma}$ y $\gamma_{\sigma\sigma}$ sólo entran en la densidad lagrangiana de Polyakov De Donder-Weyl (5) a través de las dos combinaciones $\lambda^0$ et $\lambda^1$ ¡! (Este hecho está relacionado con Simetría de Weyl .)
VI) Para alcanzar la densidad lagrangiana del Hamiltoniano de Polyakov ${\cal L}_{P,H}$ de la densidad lagrangiana de Polyakov De Donder-Weyl (5), debemos mantener la variable de momento $P^{\tau}\equiv P$ e integrar la variable auxiliar $P^{\sigma}$ . ¡Resulta que la densidad lagrangiana del Hamiltoniano de Polyakov se convierte precisamente en la densidad lagrangiana del Hamiltoniano de Nambu-Goto (1)! ¡Nótese que esta conclusión off-shell es más fuerte que la afirmación habitual de que la cuerda de Polyakov y la cuerda de Nambu-Goto tienen las mismas EOMs clásicas on-shell!
En conjunto, la única diferencia restante está en el tercer grado de libertad de la métrica WS, que corresponde a la simetría de Weyl, y cuya contribución integral de trayectoria se factoriza ingenuamente y, por tanto, se desacopla. Un análisis más cuidadoso revela problemas de regularización tanto para la cuerda Polyakov como para la cuerda Nambu-Goto, lo que potencialmente conduce a una anomalía conforme . En un espacio objetivo plano (ET), la anomalía conforme sólo desaparece en la dimensión crítica $D=26$ .
TL;DR: En conclusión, puesto que la densidad lagrangiana hamiltoniana de la cuerda de Nambu-Goto y la cuerda de Polyakov son idénticas, entonces cualquier esquema de cuantización integral de trayectoria (que sea consistente con la formulación hamiltoniana) debe ser idéntico también.
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