Integración por partes: $\int e^{ax}\cos(bx)\,dx$

Question

Necesito para evaluar la función siguiente y, a continuación, comprobar mi respuesta al tomar la derivada: $$\int e^{ax}\cos(bx)\,dx$$ donde $a$ es cualquier número real y $b$ es cualquier número real positivo.

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Sé que establezca $u=\cos(bx)$$dv=e^{ax} dx$, y el segundo tiempo se necesita para integrar de nuevo establezca $u=\sin(bx)$ $dv=e^{ax}dx$ nuevo.

Finalmente se simplifica hacia abajo para $$\int e^{ax}\cos(bx)dx = \frac{1}{a}e^{ax}\cos(bx) + \frac{b}{a}\left(\frac{1}{a}e^{ax}\sin(bx) - \frac{b}{a}\int e^{ax}\cos(bx)\,dx\right).$$

Ahora sé que para mover la integral en el lado izquierdo al lado derecho, de modo que sólo puedo dividir por el constante para resolver.

Aquí está mi problema:

Sé que necesito solucionar el lado derecho a ser: $$\frac{e^{ax}\left(a\cos(bx) + b\sin(bx)\right)}{a^2+b^2} + C.$$

Dividir por la constante que multiplica todo en el lado derecho por $$\frac{a^2}{b^2+1}.$$ pero esto me lleva a conseguir $b^2 + 1$ sobre la parte inferior en lugar de $a^2 + b^2$.

Voy a mostrar lo que estoy haciendo en detalle:

Después de establecer la integral inicial igual a: $$\frac{1}{a}e^{ax}\cos(bx) + \frac{b}{a}\left(\frac{1}{a}e^{ax}\sin(bx) - \frac{b}{a}\int e^{ax}\cos(bx)\,dx\right) + C$$ Yo simplificar: $$\int e^{ax}\cos(bx)\,dx = \frac{a^2}{b^2+1}\left(\frac{1}{a}e^{ax}\cos(bx) + \frac{b}{a}\left(\frac{1}{a}e^{ax}\sin(bx)\right)\right) + C$$

Si esto ya es malo, alguien puede punto en la dirección correcta?

Si no me han ido mal, sin embargo, puedo editar para mostrar el resto de mi trabajo.

Answer 1

Así que usted tiene $$\int e^{ax}\cos(bx)dx = \frac{1}{a}e^{ax}\cos(bx) + \frac{b}{a}\left(\frac{1}{a}e^{ax}\sin(bx) - \frac{b}{a}\int e^{ax}\cos(bx)\,dx\right).$$ Multiplicando usted obtener $$\int e^{ax}\cos(bx)\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}\cos(bx) + \frac{b}{a^2}e^{ax}\sin(bx) - \frac{b^2}{a^2}\int e^{ax}\cos(bx)\,dx.$$ En este punto, usted debe mover esa última integral en el lado derecho al lado izquierdo y añadir la constante de integración en el derecho.

Moviendo la última parte integral del lado izquierdo, se obtiene $$\left(1 + \frac{b^2}{a^2}\right)\int e^{ax}\cos(bx)\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}\cos(bx) + \frac{b}{a^2}e^{ax}\sin(bx) + C,$$ y creo que esto es donde usted hizo su error.

Intentó claro que $1 + \frac{b^2}{a^2}$ multiplicando por $\frac{a^2}{1+b^2}$. Pero esto es incorrecto: $$1 + \frac{b^2}{a^2} = \frac{a^2+b^2}{a^2} \neq \frac{1+b^2}{a^2}$$ de modo que lo que se multiplica a través de ¿ no claro que factor. Es necesario multiplicar por $\frac{a^2}{a^2+b^2}$ (o, más horriblemente, por $$\frac{1}{1+\frac{b^2}{a^2}}$$ que es demasiado horrible para las palabras) para que las cosas se anulan.

Si haces eso, desde $$\frac{a^2+b^2}{a^2}\int e^{ax}\cos(bx)\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}\cos(bx) + \frac{b}{a^2}e^{ax}\sin(bx) + C,$$ multiplicando ambos lados por $\frac{a^2}{a^2+b^2}$, obtenemos: $$\int e^{ax}\cos(bx)\,dx = \frac{a}{a^2+b^2}e^{ax}\cos(bx) + \frac{b}{a^2+b^2}e^{ax}\sin(bx) + C$$ la intención de responder.

Por cierto: no es necesario tener el "$+C$" en el lado derecho hasta que no hay más indefinido integrales; la constante de integración se encuentra implícita en la integral indefinida, así, por ejemplo, en su penúltima muestra la ecuación, el "$+C$" es superfluo.

Answer 2

Otra solución a tu pregunta original puede ser el uso de números complejos. $$\begin{align} I&=\displaystyle\int e^{ax}\cos {bx}dx \\ &=\Re\left(\displaystyle\int e^{ax}(\cos {bx}+i\sin {bx})\right)dx\\ &=\Re\left(\displaystyle\int e^{(a+ib)x}dx\right)\\ &=\Re\left(\dfrac{e^{(a+ib)x}}{a+ib}\right)\\ &=\Re\left(\dfrac{e^{ax}(\cos {bx}+i\sin {bx})}{a+ib}\right)\\ &=\Re\left(\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(\cos {bx}++i\sin {bx})(a-ib)\right)+C\\ \therefore I&=\dfrac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos {bx}+b\sin {bx})+C \end{align}$$